Determine o valor da constante que tornam as seguintes forças conservativas:
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças F = imath,x y + jmath,c x^2
e pede c para que esse campo seja conservativo.
Em R^2 (domínio simplesmente conexo), a condição de conservatividade é
partial Fxpartial y ;=;partial Fypartial x
Passo 2
Identificamos as componentes
Fx(x,y)=x y, Fy(x,y)=c,x^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Fxpartial y =partial (x y)partial y =x, partial Fypartial x =partial (c x^2)partial x =2c,x
Para ser conservativo, exige-se
x = 2c,xpara todo (x,y)
Passo 3
Se xneq0, divide-se por x e obtém-se
1 = 2c Longrightarrow c = tfrac12
No caso x=0, a igualdade 0=0 já vale trivialmente.