Calculando o rotacional encontre quais das seguintes forças são conservativas:
F=imath y+jmath x

Passo 1

O enunciado dá o campo de força
F(x,y)=imath,y+jmath,x
e pede para verificar se ele é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F. Para isso vamos usar o critério do rotacional em R^2.

Passo 2

Escrevemos as componentes do campo como
P(x,y)=y, Q(x,y)=x
Em duas dimensões, o rotacional (ou, equivalentemente, a condição de igualdade das derivadas cruzadas) é
partial Qpartial x-partial Ppartial y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial x(x)=1, partial Ppartial y =partialpartial y(y)=1

Passo 4

Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =1-1=0
Como o rotacional é zero em todo o domínio R^2 (que é simplesmente conexo), concluímos que F é conservativo.

Passo 5

Para encontrar a função potencial phi(x,y), integramos
partial phipartial x=P(x,y)=y
em relação a x, obtendo
phi(x,y)=xy+g(y),
onde g é função de y apenas. Em seguida, impomos
partial phipartial y =x+g'(y)stackrel!=Q(x,y)=x
o que implica g'(y)=0 e, portanto, g(y) é constante.

Resposta

O campo F=imath,y+jmath,x é conservativo e uma função potencial é
phi(x,y)=xy+C

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