Calcular os autovalores e todos os autoespaços, das seguintes matrizes: A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) sobre \mathbb{R}.
O enunciado pede: calcular os autovalores (valores próprios, eigenvalues) e todos os autoespaços (eigenspaces) de A sobre \mathbb{R}.
Vou listar claramente o que vou encontrar: os escalares \lambda tais que existe vetor não-nulo v com Av=\lambda v, e para cada \lambda vou descrever o conjunto de todos os vetores v que satisfazem isso (o autoespaço correspondente).]
Passo 2
O que é um autovalor e como achar: ideia e fórmula que usarei.
Definição prática: um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
Reescrevendo,
(A-\lambda I)v=0.
Para existir solução não-trivial v devemos ter
\det(A-\lambda I)=0.
Esse determinante é o polinômio característico; as raízes dele são exatamente os autovalores. Vou calcular \det(A-\lambda I), fatorar e obter as raízes.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Como são três autovalores distintos, cada um terá autovalor geométrico (dimensão do autoespaço) igual a 1 (isto é uma consequência: autovalores simples têm espaço próprio de dimensão 1) — mas vou calcular explicitamente as autofunções (vetores próprios) para cada caso.
Passo 5
Autoespaço correspondente a [\lambda=0): resolver A v = 0.
Resumo final e observações úteis para prova (o que lembrar).
O polinômio característico é \det(A-\lambda I)=-\lambda(\lambda^2-6\lambda+6).
Os autovalores reais são \lambda=0,\;3+\sqrt{3},\;3-\sqrt{3}, todos simples.
Para cada autovalor escrevi uma base do autoespaço correspondente; como os autovalores são distintos, os três vetores próprios obtidos são linearmente independentes (portanto A é diagonalizável sobre \mathbb{R}).