Calcular os autovalores e todos os autoespaços, das seguintes matrizes: A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) sobre \mathbb{C}.
Passo 1
O enunciado pede: calcular os autovalores (eigenvalues) e todos os autoespaços (eigenspaces) da matriz
Informações dadas (peguei os elementos da matriz no enunciado):
A é uma matriz 3\times3 com entradas a_{11}=1, a_{12}=2, a_{13}=1, a_{21}=1, a_{22}=2, a_{23}=1, a_{31}=1, a_{32}=2, a_{33}=3.
Preciso encontrar todos os valores \lambda\in\mathbb{C} tais que existe v\neq 0 com Av=\lambda v, e para cada \lambda encontrar o espaço de todos os vetores v que satisfazem isso (o autoespaço).]
Passo 2
O que é necessário calcular e a estratégia:
Um autovalor \lambda satisfaz \det(A-\lambda I)=0. Esse determinante é o polinômio característico; suas raízes são os autovalores (contadas com multiplicidade algébrica).
Para cada autovalor \lambda, o autoespaço é o kernel da matriz A-\lambda I, isto é, o conjunto de soluções não-triviais de (A-\lambda I)x=0. Vou calcular o determinante, achar as raízes, e em seguida resolver os sistemas lineares correspondentes para obter bases dos autoespaços.
Vou fazer as contas passo a passo, explicando cada manipulação.
Passo 3
Calcular o polinômio característico. Primeiro escrevo A-\lambda I:
Observação rápida: a soma 0+(3+\sqrt{3})+(3-\sqrt{3})=6 confere com a traço \operatorname{tr}A=6, e o produto é 0, compatível com \det A=0.]
Passo 5
Encontrar o autoespaço para \lambda=0\). Isto é, resolver \(A x=0\). Escrevo o sistema:
\[\begin{cases} x_1+2x_2+x_3=0,\\[4pt] x_1+2x_2+x_3=0,\\[4pt] x_1+2x_2+3x_3=0. \end{cases}
As duas primeiras equações são idênticas. Subtraindo a primeira da terceira:
Logo o autoespaço associado a \lambda=0 tem dimensão 1 e base \{(-2,1,0)^{T}\}.]
Passo 6
Encontrar os autoespaços para \lambda=3\pm\sqrt{3}. Para tratar ambos uniformemente, trabalho com um \lambda genérico distinto de zero e usarei redução já feita antes. Considere A-\lambda I e faça as operações elementares: subtrair a primeira linha das segunda e terceira linhas (estas operações não mudam o espaço solução). Isso leva ao sistema equivalente (mostro as equações resultantes diretamente):
(A terceira equação dá a mesma relação quando \lambda satisfaz o polinômio característico; a consistência conduz à condição \lambda^2-6\lambda+6=0, já satisfeita pelos nossos \lambda.)
Portanto, para cada \lambda\in\{3+\sqrt{3},\,3-\sqrt{3}\} temos x_1=x_2 e x_3=(\lambda-3)x_1. Tomando x_1=1 como parâmetro gerador, obtemos um autovetor