Calcular as derivadas das funções abaixo.
y=\operatorname{sec} (\operatorname{tg} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta
y = \operatorname{sec}\bigl(\tan x\bigr).
Vamos usar a regra da cadeia e as derivadas conhecidas de \operatorname{sec} z e \tan x:
  • \displaystyle \frac{d}{dz}\operatorname{sec} z = \operatorname{sec} z \,\tan z.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Identificamos a composição em duas camadas:
a camada externa é y = \operatorname{sec}(u) com u = \tan x.
Pela regra da cadeia,
y' = \frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)\;\cdot\;\frac{du}{dx} = \bigl[\operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\bigr]\;\cdot\;u'.

Passo 3

Calculamos u'=\frac{d}{dx}[\tan x]. Sabe-se que
\frac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^2 x,
portanto u' = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Substituindo u = \tan x e u' = \operatorname{sec}^2 x em \,y' = \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\;\cdot\;u'\,, obtemos
y' = \operatorname{sec}\bigl(\tan x\bigr)\,\tan\bigl(\tan x\bigr)\,\operatorname{sec}^2 x.

Resposta

y' = \operatorname{sec}\bigl(\tan x\bigr)\,\tan\bigl(\tan x\bigr)\,\operatorname{sec}^2 x.

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