Calcular as derivadas das funções abaixo.
y=\left(\frac{x^{2}}{8}+x-\frac{1}{x}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função composta. Temos
y = \Bigl(\frac{x^{2}}{8} + x - \frac{1}{x}\Bigr)^{4}.
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia, definindo a função interna
u(x) = \frac{x^{2}}{8} + x - \frac{1}{x}
e a função externa y(u) = u^{4}.

Passo 2

Calculamos a derivada de u(x). Como
u(x) = \frac{x^{2}}{8} + x - x^{-1},
temos
u'(x) = \frac{2x}{8} + 1 - (-1)x^{-2} = \frac{x}{4} + 1 + \frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de y em relação a x é
y'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{4}\bigr) = 4\,u(x)^{3}\,u'(x).

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) e multiplicando o 4 em u'(x), obtemos
y'(x) = 4\Bigl(\frac{x^{2}}{8} + x - \frac{1}{x}\Bigr)^{3} \Bigl(\frac{x}{4} + 1 + \frac{1}{x^{2}}\Bigr) = \Bigl(\frac{x^{2}}{8} + x - \frac{1}{x}\Bigr)^{3} \Bigl(x + 4 + \frac{4}{x^{2}}\Bigr).

Resposta

y'(x) = \Bigl(\frac{x^{2}}{8} + x - \frac{1}{x}\Bigr)^{3} \Bigl(x + 4 + \frac{4}{x^{2}}\Bigr).

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