Calcular as derivadas parciais indicadas:
2) w=x^2 y^2 sen(xz), partial wpartial x=?, partial wpartial y=?, partial wpartial z=?, R: partial wpartial x=x y^2[xz cos (xz)+2 sen(xz)]
partial wpartial y=2 x^2 y sen(xz), partial wpartial z=-x^3 y^2z^2 cos (xz)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial que envolvem a diferenciação de funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes. Vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

A função partial wpartial x = y^2 cdot 2x cdot sin(xz) + x^2 y^2 cdot cos(xz) cdot (1z) pode ser vista como o produto de e . Ao derivar em relação a , derivamos cada parte mantendo a outra constante:

Passo 4

Simplificando a expressão:
partial wpartial x = 2x y^2 sin(xz) + x^2 y^2z cos(xz)
Podemos fatorar partial wpartial x = x y^2 [ 2 sin(xz) + xz cos(xz) ] para deixar a expressão mais elegante:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = x^2 cdot 2y cdot sin(xz) em relação a partial wpartial y = 2x^2 y sin(xz) , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial z = x^2 y^2 cdot cos(xz) cdot (-xz^2) em relação a partial wpartial z = -x^3 y^2z^2 cos(xz) , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes. Vamos aplicar a regra da cadeia novamente.
Derivando em relação a :
Simplificando:

Resposta

partial wpartial x = x y^2[xz cos (xz)+2 sin(xz)]
partial wpartial y = 2 x^2 y sin(xz)
partial wpartial z = -x^3 y^2z^2 cos (xz)

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