Calcular as derivadas parciais indicadas:
9) w=t ln t, t=x^2 y^3+y sen(x z), partial wpartial x=?, partial wpartial y=?, partial wpartial z= ?
R: partial wpartial x=(1+ln t)[2 x y^3+y z cos (x z)], partial wpartial y=(1+ln t)[3 x^2 y^2+sen(x z)],
partial wpartial z=(1+ln t) x y cos (x z)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivadas parciais. O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e , onde . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental no cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é uma função composta: ela depende de , que por sua vez depende de , e . Para encontrar as derivadas parciais de , precisamos derivar em relação a e depois multiplicar pela derivada de em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Calculamos a derivada de partial wpartial t = ln t + t cdot 1t = 1 + ln t em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a derivada do logaritmo natural.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de t = x^2 y^3 + y sin(x z) em relação a partial tpartial x = 2x y^3 + y z cos(x z) , e .
Para :
Usamos a derivada da potência e a regra da cadeia para a parte do seno.

Passo 5

Para partial tpartial y = 3x^2 y^2 + sin(x z) :
Aqui, aplicamos a derivada da potência e a derivada direta do termo com .

Passo 6

Para partial tpartial z = y cdot x cos(x z) :
Aplicamos a regra da cadeia na derivada do termo .

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de partial wpartial x = partial wpartial t cdot partial tpartial x = (1 + ln t) (2x y^3 + y z cos(x z)) :
Para partial wpartial y = partial wpartial t cdot partial tpartial y = (1 + ln t) (3x^2 y^2 + sin(x z)) :
partial wpartial z = partial wpartial t cdot partial tpartial z = (1 + ln t) cdot x y cos(x z)
Para :
Para :

Resposta

partial wpartial x = (1 + ln t) (2x y^3 + y z cos(x z)), partial wpartial y = (1 + ln t) (3x^2 y^2 + sin(x z)), partial wpartial z = (1 + ln t) x y cos(x z)

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