Calcular a derivadas sucessivas até a n ordem indicada: ( 0 , 2 5 ptos cada)
y=e^2 x-1 ; n=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas sucessivas de ordem até n=3 da função y = e^2x-1. O conteúdo envolvido é derivada de exponencial e vamos precisar usar a regra da cadeia, que diz que se y=e^u(x) então y'=u'(x),e^u(x).

Passo 2

Primeiro, definimos u(x)=2x-1. Então u'(x)=2. Aplicando a regra da cadeia em y=e^u(x) obtemos
y' = u'(x),e^u(x) = 2,e^2x-1

Passo 3

Para a segunda derivada, vemos que a forma de y' é novamente uma exponencial multiplicada por constante. Logo, derivando y'=2e^2x-1 e usando a mesma regra da cadeia:
y'' = 2 cdot l(2e^2x-1r) = 2^2,e^2x-1 = 4e^2x-1

Passo 4

Para a terceira derivada, repetimos o mesmo raciocínio em y''=4e^2x-1:
y''' = 4 cdot l(2e^2x-1r) = 2^3,e^2x-1 = 8e^2x-1

Resposta

y' = 2e^2x-1
y'' = 4e^2x-1
y''' = 8e^2x-1

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