Calcular o desloca mento vertical do ponto de aplicação da carga P.
DADOS :
\begin{aligned} S & =4 \mathrm{~cm}^{2} \\ E & =2000 \mathrm{t} / \mathrm{cm}^{2} \\ \ell & =2 \mathrm{~m} \\ c & =10 \mathrm{t} / \mathrm{cm} \\ p & =20 \mathrm{t} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga P.
Dados fornecidos:
  • S=4\\ \mathrm{cm}^{2}
  • E=2000\\ \mathrm{t/cm}^{2}
  • \ell=2\\ \mathrm{m}
  • c=10\\ \mathrm{t/cm}
  • p=20\\ \mathrm{t}
Observação sobre unidades (dados tal como fornecidos): a unidade de comprimento usada em S e E é em centímetros, portanto converte-se o comprimento \ell para centímetros para manter consistência:
\ell=2\\ \mathrm{m}=200\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Entendimento físico e estratégia (o que será calculado):
  • Há um elemento deformável (a barra) com área S, módulo de Young E e comprimento \ell. Sob a carga axial P a barra se comprime.
  • Há também uma mola (constante c) associada ao sistema. Se a barra e a mola estão sujeitas à mesma força P em série, as deformações se somam. Assim o deslocamento total \delta é soma da compressão da barra \delta_{\text{barra}} e da compressão da mola \delta_{\text{mola}}:
\delta=\delta_{\text{barra}}+\delta_{\text{mola}}.

Passo 3

Fórmula da compressão axial da barra (aula rápida e derivação):
  • Tensão (stress) na barra: \sigma=\dfrac{P}{S}. Aqui P é a força axial e S a área da seção.
  • Deformação (strain): \varepsilon=\dfrac{\delta_{\text{barra}}}{\ell}.
  • Lei de Hooke (para tração/compressão linear): \sigma=E\,\varepsilon.
  • Substituindo \sigma e \varepsilon obtemos:
\frac{P}{S}=E\frac{\delta_{\text{barra}}}{\ell}.
  • Isolando \delta_{\text{barra}}:
\delta_{\text{barra}}=\frac{P\,\ell}{S\,E}.
Explicação das variáveis: P em toneladas ( \mathrm{t}), \ell em \mathrm{cm}, S em \mathrm{cm}^{2}, E em \mathrm{t/cm}^{2}. O resultado vem em \mathrm{cm}.

Passo 4

Fórmula da compressão da mola:
  • Para uma mola linear a relação entre força e deslocamento é \;P=c\,\delta_{\text{mola}}\;.
  • Portanto:
\delta_{\text{mola}}=\frac{P}{c}.
Explicação das variáveis: c tem unidade \mathrm{t/cm}, logo P/c dá deslocamento em \mathrm{cm}.

Passo 5

Expressão final combinada:
\delta=\frac{P\,\ell}{S\,E}+\frac{P}{c}=P\left(\frac{\ell}{S\,E}+\frac{1}{c}\right).

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo (usando os dados e a conversão \ell=200\\ \mathrm{cm}):
  • Calcular S\,E:
S\,E=4\\ \mathrm{cm}^{2}\times 2000\\ \mathrm{t/cm}^{2}=8000\\ \mathrm{t}.
  • Calcular \dfrac{\ell}{S\,E}:
\frac{\ell}{S\,E}=\frac{200\\ \mathrm{cm}}{8000\\ \mathrm{t}}=0,025\\ \mathrm{cm/t}.
  • Calcular \dfrac{1}{c}:
\frac{1}{c}=\frac{1}{10\\ \mathrm{t/cm}}=0,1\\ \mathrm{cm/t}.
  • Somar os termos:
\frac{\ell}{S\,E}+\frac{1}{c}=0,025+0,1=0,125\\ \mathrm{cm/t}.
  • Multiplicar por P=20\\ \mathrm{t}:
\delta=20\\ \mathrm{t}\times 0,125\\ \mathrm{cm/t}=2,5\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Verificação de unidades e plausibilidade:
  • Todas as operações mantiveram as unidades consistentes e o deslocamento obtido está em \mathrm{cm}.
  • A contribuição da mola ( 0,1\times20=2\\ \mathrm{cm}) é maior que a da barra ( 0,025\times20=0,5\\ \mathrm{cm}), o que faz sentido porque a mola é relativamente mais flexível que a barra rígida.

Resposta

2,5\\ \mathrm{cm}

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