Exercício 1.7 - Três cabos de aço são usados para sustentar um carga \mathbf{P}. Se a tensão normal admissível nos três cabos é \sigma_{\text {adm }}=165 \mathrm{MPa}, o cabo AB tem diâmetro de 6 mm , o cabo BC tem diâmetro de 5 mm e o cabo BD tem diâmetro de 7 mm , determine a máxima força \mathbf{P} que podemos aplicar de modo que nenhum cabo falhe.
[Resposta: \mathbf{P = 4 . 4 3 k N} ]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Tensão admissível nos cabos: \sigma_{\text{adm}} = 165\\ \text{MPa}.
  • Diâmetros dos cabos:
    • cabo AB: d_{AB} = 6\\ \text{mm},
    • cabo BC: d_{BC} = 5\\ \text{mm},
    • cabo BD: d_{BD} = 7\\ \text{mm}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a máxima força \mathbf{P} que pode ser aplicada de modo que nenhum cabo exceda a tensão admissível.
Informação importante que falta (necessária para cálculo numérico):
  • Não foi enviada a figura com a geometria do problema nem foram dados os ângulos ou as direções dos cabos em relação à carga \mathbf{P}. Sem essa informação geométrica não é possível relacionar as tensões (forças nos cabos) com a carga \mathbf{P} por meio das equações de equilíbrio.

Passo 2

Explicação e fórmulas básicas que usaremos (aulas rapidas e práticas).
  1. Relação tensão–força–área: a tensão normal (módulo) em um cabo é
\sigma=\frac{T}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão (em \text{N}/\text{mm}^2 ou \text{MPa}),
  • T é a força axial (tensão interna) no cabo (em N),
  • A é a área da seção transversal do cabo (em \text{mm}^2).
Para não haver falha, devemos ter T \le T_{\text{adm}} com
T_{\text{adm}}=\sigma_{\text{adm}}\;A.
  1. Área de um cabo circular:
A=\frac{\pi d^2}{4},
onde d é o diâmetro (em mm). Vou usar a unidade prática \;1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N}/\text{mm}^2, logo posso multiplicar \sigma_{\text{adm}} em MPa por A em \text{mm}^2 para obter T_{\text{adm}} em N.

Passo 3

Calcular a resistência (força admissível) de cada cabo a partir dos diâmetros dados.
Cálculo das áreas:
A_{AB}=\frac{\pi d_{AB}^2}{4}=\frac{\pi(6)^2}{4}=9\pi\\ \text{mm}^2,
A_{BC}=\frac{\pi d_{BC}^2}{4}=\frac{\pi(5)^2}{4}=6{,}25\pi\\ \text{mm}^2,
A_{BD}=\frac{\pi d_{BD}^2}{4}=\frac{\pi(7)^2}{4}=12{,}25\pi\\ \text{mm}^2.
Agora as forças máximas admissíveis (usar \sigma_{\text{adm}}=165\\ \text{N}/\text{mm}^2):
T_{\text{adm},AB}=\sigma_{\text{adm}}A_{AB}=165\cdot 9\pi \approx 4665{,}26\\ \text{N},
T_{\text{adm},BC}=165\cdot 6{,}25\pi \approx 3239{,}27\\ \text{N},
T_{\text{adm},BD}=165\cdot 12{,}25\pi \approx 6349{,}94\\ \text{N}.
Interpretação didática simples: esses valores são os máximos que cada cabo pode suportar em tração axial. Se a força no cabo ficar acima desse valor, a tensão excede \sigma_{\text{adm}} e o cabo falha.

Passo 4

Como relacionar as tensões nos cabos com a carga \mathbf{P}: estática do ponto onde os cabos se conectam.
Teoria / procedimento que se usa na prova (passo a passo, bem mastigado):
  1. Identificar o nó (ponto onde os três cabos se encontram e onde a carga \mathbf{P} é aplicada). Nesse nó, escrever as equações de equilíbrio de forças (soma vetorial zero). Em duas dimensões (plano), as equações são
\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0.
  1. Representar cada tensão T_i em componentes. Se o cabo i faz um ângulo \alpha_i com o eixo horizontal (convenção qualquer, desde que consistente), então a componente horizontal é T_i\cos\alpha_i e a vertical é T_i\sin\alpha_i. As equações serão algo do tipo
T_{AB}\cos\alpha_{AB} + T_{BC}\cos\alpha_{BC} + T_{BD}\cos\alpha_{BD} = 0,
T_{AB}\sin\alpha_{AB} + T_{BC}\sin\alpha_{BC} + T_{BD}\sin\alpha_{BD} = P,
(adotei sinal positivo para componentes que apontam para cima; ajustar sinais conforme o desenho real).
  1. Essas são equações lineares em T_{AB},T_{BC},T_{BD}. Para determinar numericamente os três T_i em função de P é preciso conhecer os ângulos \alpha_i. Se faltar essa geometria, não é possível obter valores numéricos únicos para as tensões.
  2. Depois de expressar cada T_i em função de P (ou resolver o sistema), aplicam-se os limites T_i \le T_{\text{adm},i}. A máxima carga admissível P_{\max} será aquela para a qual alguma dessas desigualdades fica exatamente em igualdade (isto é, quando um cabo atinge a tensão admissível) e nenhuma excede. Portanto, em geral:
P_{\max}=\min_i\left\{ \frac{T_{\text{adm},i}}{k_i}\right\},
onde k_i é o coeficiente (positivo) que relaciona T_i a P (isto é, T_i = k_i P); os k_i dependem dos ângulos \alpha_i e da solução do sistema de equilíbrio.
Observação importante (didática): em muitos exercícios o problema tem simetria ou ângulos conhecidos que tornam o sistema determinável e permitem escrever diretamente T_i em função de P. Sem esses ângulos não se pode calcular os coeficientes k_i.

Passo 5

Aplicação prática do que falta e conclusão.
  • Com os valores de T_{\text{adm},i} que calculei no Passo 3, a forma de obter P_{\max} é:
    1. obter, pela geometria do problema (ângulos/posições dos pontos A, C, D em relação ao nó B), as relações T_{AB}=k_{AB}P, T_{BC}=k_{BC}P, T_{BD}=k_{BD}P;
    2. calcular \displaystyle P_{\max}=\min\!\left\{\frac{T_{\text{adm},AB}}{k_{AB}},\;\frac{T_{\text{adm},BC}}{k_{BC}},\;\frac{T_{\text{adm},BD}}{k_{BD}}\right\}.
  • Sem a figura ou os ângulos (ou as coordenadas dos pontos de ancoragem) não é possível determinar numericamente os coeficientes k_i e, portanto, não é possível calcular numericamente \mathbf{P}. Por isso, não posso reconciliar de forma justificada o valor numérico \mathbf{P=4{,}43\\ \text{kN}} que você informou — pode ser correto para a geometria do livro, mas eu preciso dessa geometria para reproduzir a resolução passo a passo.
Se você enviar a figura do enunciado ou fornecer os ângulos/posições (por exemplo, os ângulos que AB,BC,BD fazem com a horizontal ou as coordenadas de A,C,D), eu faço a resolução completa, passo a passo, calculando os k_i, verificando qual cabo limita \mathbf{P} e chegando ao valor numérico final (com explicações em cada conta para você poder repetir na prova).
Força! Manda a figura ou os ângulos que a gente resolve isso juntos.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \mathbf{P} porque a figura ou os ângulos (direções) dos cabos, necessários para relacionar as tensões aos componentes da carga, não foram fornecidos.

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