Exercício 1.7 - Três cabos de aço são usados para sustentar um carga
. Se a tensão normal admissível nos três cabos é
, o cabo AB tem diâmetro de 6 mm , o cabo BC tem diâmetro de 5 mm e o cabo BD tem diâmetro de 7 mm , determine a máxima força
que podemos aplicar de modo que nenhum cabo falhe.
[Resposta:
]
[Resposta:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- Tensão admissível nos cabos:
. - Diâmetros dos cabos:
- cabo
: , - cabo
: , - cabo
: .
- cabo
O que o enunciado pede:
- Determinar a máxima força
que pode ser aplicada de modo que nenhum cabo exceda a tensão admissível.
Informação importante que falta (necessária para cálculo numérico):
- Não foi enviada a figura com a geometria do problema nem foram dados os ângulos ou as direções dos cabos em relação à carga
. Sem essa informação geométrica não é possível relacionar as tensões (forças nos cabos) com a carga por meio das equações de equilíbrio.
Passo 2
Explicação e fórmulas básicas que usaremos (aulas rapidas e práticas).
- Relação tensão–força–área: a tensão normal (módulo) em um cabo é
onde:
-
é a tensão (em ou ), -
é a força axial (tensão interna) no cabo (em N), -
é a área da seção transversal do cabo (em ).
Para não haver falha, devemos ter
com
- Área de um cabo circular:
onde
é o diâmetro (em mm). Vou usar a unidade prática
, logo posso multiplicar
em MPa por
em
para obter
em N.
Passo 3
Calcular a resistência (força admissível) de cada cabo a partir dos diâmetros dados.
Cálculo das áreas:
Agora as forças máximas admissíveis (usar
):
Interpretação didática simples: esses valores são os máximos que cada cabo pode suportar em tração axial. Se a força no cabo ficar acima desse valor, a tensão excede
e o cabo falha.
Passo 4
Como relacionar as tensões nos cabos com a carga
: estática do ponto onde os cabos se conectam.
Teoria / procedimento que se usa na prova (passo a passo, bem mastigado):
- Identificar o nó (ponto onde os três cabos se encontram e onde a carga
é aplicada). Nesse nó, escrever as equações de equilíbrio de forças (soma vetorial zero). Em duas dimensões (plano), as equações são
- Representar cada tensão
em componentes. Se o cabo faz um ângulo com o eixo horizontal (convenção qualquer, desde que consistente), então a componente horizontal é e a vertical é . As equações serão algo do tipo
(adotei sinal positivo para componentes que apontam para cima; ajustar sinais conforme o desenho real).
-
Essas são equações lineares em
. Para determinar numericamente os três em função de é preciso conhecer os ângulos . Se faltar essa geometria, não é possível obter valores numéricos únicos para as tensões. -
Depois de expressar cada
em função de (ou resolver o sistema), aplicam-se os limites . A máxima carga admissível será aquela para a qual alguma dessas desigualdades fica exatamente em igualdade (isto é, quando um cabo atinge a tensão admissível) e nenhuma excede. Portanto, em geral:
onde
é o coeficiente (positivo) que relaciona
a
(isto é,
); os
dependem dos ângulos
e da solução do sistema de equilíbrio.
Observação importante (didática): em muitos exercícios o problema tem simetria ou ângulos conhecidos que tornam o sistema determinável e permitem escrever diretamente
em função de
. Sem esses ângulos não se pode calcular os coeficientes
.
Passo 5
Aplicação prática do que falta e conclusão.
-
Com os valores de
que calculei no Passo 3, a forma de obter é: - obter, pela geometria do problema (ângulos/posições dos pontos A, C, D em relação ao nó B), as relações
, , ; - calcular
- obter, pela geometria do problema (ângulos/posições dos pontos A, C, D em relação ao nó B), as relações
-
Sem a figura ou os ângulos (ou as coordenadas dos pontos de ancoragem) não é possível determinar numericamente os coeficientes
e, portanto, não é possível calcular numericamente . Por isso, não posso reconciliar de forma justificada o valor numérico que você informou — pode ser correto para a geometria do livro, mas eu preciso dessa geometria para reproduzir a resolução passo a passo.
Se você enviar a figura do enunciado ou fornecer os ângulos/posições (por exemplo, os ângulos que
fazem com a horizontal ou as coordenadas de A,C,D), eu faço a resolução completa, passo a passo, calculando os
, verificando qual cabo limita
e chegando ao valor numérico final (com explicações em cada conta para você poder repetir na prova).
Força! Manda a figura ou os ângulos que a gente resolve isso juntos.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque a figura ou os ângulos (direções) dos cabos, necessários para relacionar as tensões aos componentes da carga, não foram fornecidos.