Se calcularmos o momento de uma mesma força \vec{F} em relação a dois pontos diferentes, O e O^{\prime}, os resultados serão obrigatoriamente iguais? Justifique sua resposta e identifique em que situação especial esses momentos poderiam ser iguais.
Passo 1
O enunciado pergunta se o momento (torque) de uma mesma força \vec{F} calculado em relação a dois pontos diferentes, O e O', será sempre igual. Pede justificativa e que se identifique a situação especial em que os momentos poderiam ser iguais.
Informações dadas:
Há uma única força vetorial \vec{F} aplicada em um ponto P (o ponto de aplicação é o mesmo).
Dois pontos de referência distintos: O e O'.
Não há números específicos — a resposta deve ser em termos vetoriais e geométricos.
Passo 2
Definição e ideia física do momento de uma força:
O momento (ou torque) de uma força \vec{F} em relação a um ponto O é o vetor
\vec{M}_O = \vec{r}_O \times \vec{F},
onde \vec{r}_O é o vetor posição do ponto de aplicação P medido a partir de O (ou seja, \vec{r}_O=\overrightarrow{OP}).
Intuição: \vec{M}_O mede a tendência da força fazer o corpo girar em torno de O. O módulo do momento é
|\vec{M}_O| = r_O\,F\,\sin\theta,
com \theta sendo o ângulo entre \vec{r}_O e \vec{F}. Em unidades é \text{N}\cdot\text{m}. O sentido do vetor momento segue a regra da mão direita (direção de \vec{r}_O\times\vec{F}).
Explicando a fórmula do produto vetorial de forma simples: o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular tanto a \vec{a} quanto a \vec{b} cujo comprimento é |\vec{a}||\vec{b}|\sin do ângulo entre eles; é zero se \vec{a} e \vec{b} são paralelos.
Passo 3
Relacionando os momentos em O e O'.
Defina o vetor que leva O em O':
\vec{a}=\overrightarrow{OO'}.
Se \vec{r}_O=\overrightarrow{OP} é a posição de P em relação a O, então a posição de P em relação a O' é
Como \vec{r}_O\times\vec{F}=\vec{M}_O, obtemos a relação central:
\vec{M}_{O'}=\vec{M}_O-\vec{a}\times\vec{F}.
Essa fórmula é fundamental: o momento mudou pelo termo \vec{a}\times\vec{F}.
Passo 4
Interpretação do termo \vec{a}\times\vec{F} e condição para igualdade.
Em geral \vec{a}\times\vec{F}\neq\vec{0}, portanto \vec{M}_{O'}\neq\vec{M}_O. Ou seja, o momento depende do ponto de referência: mudar o ponto geralmente muda o momento.
Os momentos serão iguais exatamente quando
\vec{a}\times\vec{F}=\vec{0}.
Quando um produto vetorial é nulo? Quando pelo menos uma das condições vale:
\vec{a} é paralelo a \vec{F} (ou seja, \vec{a} = \lambda \vec{F} para algum escalar \lambda).
Física/geometria: se o deslocamento entre O e O' é paralelo à força, então deslocar a origem nessa direção não altera a componente perpendicular do braço de alavanca — por isso o momento permanece o mesmo. Um caso prático incluído nessa condição é quando ambos O e O' estão sobre a mesma linha de ação da força: nesse caso a cada momento é nulo (ambos os momentos são zero).
Passo 5
Exemplos numéricos simples (para fixar a ideia):
Exemplo onde muda:
Tome \vec{F}=(0,10,0)\\ \text{N}, \vec{r}_O=(2,0,0)\\ \text{m}. Então
Resumo final e interpretação prática (estilo amigo de estudos):
Em geral, não: mudar o ponto de referência muda o momento da força.
A única situação não trivial em que os momentos são iguais é quando o vetor que leva O a O' é paralelo à força (ou quando o deslocamento é nulo ou a força é nula). Na prática isso significa que ao deslocar o ponto de referência ao longo da direção da própria força (por exemplo, mover a origem ao longo da linha de ação da força), o momento não muda. Isso é fácil de visualizar: mover a origem na direção da força não altera o braço de alavanca perpendicular à força, que é o que realmente gera o giro.
Força na prova: escreva a relação vetorial \vec{M}_{O'}=\vec{M}_O-\vec{a}\times\vec{F} e argumente que a igualdade ocorre se e somente se \vec{a}\times\vec{F}=\vec{0}. Vai dar certo — força e foco, você consegue!
Resposta
Não, em geral \vec{M}_{O'}\neq\vec{M}_O. Eles serão iguais se, e somente se, \vec{a}\times\vec{F}=\vec{0}, onde \vec{a}=\overrightarrow{OO'}; isto ocorre quando \vec{a}=\vec{0}, ou \vec{F}=\vec{0}, ou \vec{a} é paralelo a \vec{F} (por exemplo, quando O e O' estão sobre a linha de ação da força).