Calcular os determinantes D_{21}, D_{22}, D_{23} e os cofactores A_{11}, A_{21}, A_{31} para as seguintes matrizes:
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os menores (determinantes de submatrizes) \;D_{21},D_{22},D_{23}, e os cofactores \;A_{11},A_{21},A_{31}, da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Lembrando que o menor D_{ij} é o determinante da matriz que sobra ao suprimir a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A, e que o cofactor é
A_{ij}=(-1)^{\,i+j}\,D_{ij}.

Passo 2

Calcular D_{21},D_{22},D_{23}:
- D_{21} suprime a linha 2 e coluna 1, sobrando
\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix},
logo
D_{21} =\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&4\end{pmatrix} =0\cdot4-1\cdot2=-2.
- D_{22} suprime a linha 2 e coluna 2, sobrando
\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 4 \end{pmatrix},
logo
D_{22} =\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&4\end{pmatrix} =1\cdot4-1\cdot1=3.
- D_{23} suprime a linha 2 e coluna 3, sobrando
\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix},
logo
D_{23} =\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&2\end{pmatrix} =1\cdot2-0\cdot1=2.

Passo 3

Calcular os cofactores A_{11},A_{21},A_{31}. Primeiro os menores necessários:
- D_{11} suprime linha 1 coluna 1, sobrando
\begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix},
D_{11} =\det\begin{pmatrix}2&3\\\ 2&4\end{pmatrix} =2\cdot4-3\cdot2=8-6=2.
- D_{31} suprime linha 3 coluna 1, sobrando
\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 2 & 3 \end{pmatrix},
D_{31} =\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&3\end{pmatrix} =0\cdot3-1\cdot2=-2.
Agora aplicamos
A_{ij}=(-1)^{\,i+j}D_{ij}.
- A_{11}=(-1)^{1+1}D_{11}=+1\cdot2=2.
- A_{21}=(-1)^{2+1}D_{21}=-1\cdot(-2)=2.
- A_{31}=(-1)^{3+1}D_{31}=+1\cdot(-2)=-2.

Resposta

D_{21}=-2,\quad D_{22}=3,\quad D_{23}=2, A_{11}=2,\quad A_{21}=2,\quad A_{31}=-2.

Exercícios relacionados