Calcular os determinantes D_{21}, D_{22}, D_{23} e os cofactores A_{11}, A_{21}, A_{31} para as seguintes matrizes:
\mathrm{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 9 & 5 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 6 & 4 & 4\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & 9 & 5\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 6 & 4 & 4 \end{pmatrix}
e queremos os menores D_{21},D_{22},D_{23} (determinantes das submatrizes que surgem ao eliminar a 2ª linha e a respectiva coluna) e os cofactores \;A_{11},A_{21},A_{31}, onde
A_{ij} = (-1)^{i+j}\,D_{ij}.

Passo 2

Calcular D_{21},D_{22},D_{23}:
  • Para D_{21}: elimino 2ª linha e 1ª coluna, restando
\begin{pmatrix} 9 & 5\\\\ 4 & 4 \end{pmatrix},
de modo que
D_{21} = 9\cdot4 \;-\;5\cdot4 = 36 - 20 = 16.
  • Para D_{22}: elimino 2ª linha e 2ª coluna, restando
\begin{pmatrix} 1 & 5\\\\ 6 & 4 \end{pmatrix},
de modo que
D_{22} = 1\cdot4 \;-\;5\cdot6 = 4 - 30 = -26.
  • Para D_{23}: elimino 2ª linha e 3ª coluna, restando
\begin{pmatrix} 1 & 9\\\\ 6 & 4 \end{pmatrix},
de modo que
D_{23} = 1\cdot4 \;-\;9\cdot6 = 4 - 54 = -50.

Passo 3

Calcular os menores necessários aos cofactores A_{11} e A_{31}:
  • Para D_{11}: elimino 1ª linha e 1ª coluna, restando
\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 4 & 4 \end{pmatrix},
de modo que
D_{11} = 1\cdot4 \;-\;2\cdot4 = 4 - 8 = -4.
  • Para D_{31}: elimino 3ª linha e 1ª coluna, restando
\begin{pmatrix} 9 & 5\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix},
de modo que
D_{31} = 9\cdot2 \;-\;5\cdot1 = 18 - 5 = 13.

Passo 4

Calcular os cofactores usando A_{ij}=(-1)^{i+j}D_{ij}:
A_{11} = (-1)^{1+1}D_{11} = (+1)\cdot(-4) = -4,
A_{21} = (-1)^{2+1}D_{21} = (-1)\cdot16 = -16,
A_{31} = (-1)^{3+1}D_{31} = (+1)\cdot13 = 13.

Resposta

D_{21}=16 D_{22}=-26 D_{23}=-50 A_{11}=-4 A_{21}=-16 A_{31}=13

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