O objetivo de cada item é fornecer e^{M} para a matriz M correspondente, onde
e^{M}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{M^{n}}{n!}.]
Passo 2
Exponencial de A. Método: diagonalização (quando possível) é a forma mais direta para 2\times2 com autovalores distintos. Vou achar autovalores e autovetores, diagonalizar e aplicar e^{A}=S e^{D} S^{-1}.
Calcular polinômio característico de A. O traço é \operatorname{tr}A=5+(-4)=1 e o determinante é \det A=5(-4)-(-6)(3)=-20+18=-2. Assim o polinômio característico é
As raízes são \lambda=2 e \lambda=-1 (verificando: 2^2-2-2=0, (-1)^2+1-2=0).
Autovetor para \lambda=2: resolver (A-2I)v=0. Uma equação é 3x-6y=0 então x=2y. Tomo v_{1}=(2,1)^{T}.
Autovetor para \lambda=-1: resolver (A+I)v=0. Uma equação é 6x-6y=0 então x=y. Tomo v_{2}=(1,1)^{T}.
Montando S=[v_{1}\\ v_{2}]=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}. O determinante de S é 2\cdot1-1\cdot1=1, logo S^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Exponencial de B. Observação técnica: B tem forma 2I+J onde J=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} e J^{2}=-I. Isso é muito conveniente porque, para uma matriz J com J^{2}=-I, vale
Usa-se e^{D}=S\diag(e^{\lambda_{1}},e^{\lambda_{2}})S^{-1}. Fazendo as multiplicações e simplificando (detalhes algébricos semelhantes aos do passo para A), obtém-se a forma compacta
Exponencial de F. Observação: F é blocada em forma quase-diagonal; a primeira linha/coluna (o bloco [2]) é separada e o bloco 2\times2 no canto inferior direito tem autovalor repetido 3 e é de forma 3I+L com L nilpotente.
Escrevo F=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt]0 & 3 & 0\\[4pt]0 & 1 & 3\end{pmatrix}. Assim F é block-diagonal em blocos [2] e B=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Para o bloco B tenho B=3I+L com L=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} e L^{2}=0. Logo e^{B}=e^{3}(I+L).
Exponencial de K. Observação de estrutura: K tem todas as colunas exceto a primeira nulas e a primeira coluna é (1,1,1,1)^{T}. Posso escrever K=u e_{1}^{T} com u=(1,1,1,1)^{T} e e_{1}=(1,0,0,0)^{T}.
Produto K^{2}=(u e_{1}^{T})(u e_{1}^{T})=u (e_{1}^{T}u) e_{1}^{T}=(e_{1}^{T}u) \,u e_{1}^{T}. Como e_{1}^{T}u=1, segue K^{2}=K. Assim K é idempotente (projeção de posto 1).
Para uma matriz idempotente P vale P^{n}=P para n\ge 1. Portanto a série do exponencial dá