Calcular a exponencial das matrizes:
\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{ll} 5 & -6 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{rr} 2 & -1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{rr} 2 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right) \quad D=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right) \\\ E=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \quad F=\left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right) \quad G=\left(\begin{array}{lll} \lambda & 0 & 0 \\\\ 1 & \lambda & 0 \\\\ 0 & 1 & \lambda \end{array}\right) \\\ H=\left(\begin{array}{rr} i & 0 \\\\ 0 & -i \end{array}\right) \quad J=\left(\begin{array}{rr} 1+i & 0 \\\\ 2 & 1+i \end{array}\right) \quad K=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se calcular a exponencial de várias matrizes: A,B,C,D,E,F,G,H,J,K (todas as matrizes estão explícitas no enunciado).
  • Vou listar as matrizes (pego os valores do enunciado):
    • A=\begin{pmatrix}5 & -6\\[4pt]3 & -4\end{pmatrix}.
    • B=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
    • C=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
    • D=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
    • E=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\[4pt]0 & 0 & 3\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
    • F=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt]0 & 3 & 0\\[4pt]0 & 1 & 3\end{pmatrix}.
    • G=\begin{pmatrix}\lambda & 0 & 0\\[4pt]1 & \lambda & 0\\[4pt]0 & 1 & \lambda\end{pmatrix}.
    • H=\begin{pmatrix}i & 0\\[4pt]0 & -i\end{pmatrix}.
    • J=\begin{pmatrix}1+i & 0\\[4pt]2 & 1+i\end{pmatrix}.
    • K=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
O objetivo de cada item é fornecer e^{M} para a matriz M correspondente, onde
e^{M}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{M^{n}}{n!}.]

Passo 2

Exponencial de A. Método: diagonalização (quando possível) é a forma mais direta para 2\times2 com autovalores distintos. Vou achar autovalores e autovetores, diagonalizar e aplicar e^{A}=S e^{D} S^{-1}.
  • Calcular polinômio característico de A. O traço é \operatorname{tr}A=5+(-4)=1 e o determinante é \det A=5(-4)-(-6)(3)=-20+18=-2. Assim o polinômio característico é
\lambda^{2}-\operatorname{tr}A\\ \lambda+\det A=\lambda^{2}-\lambda-2.
  • As raízes são \lambda=2 e \lambda=-1 (verificando: 2^2-2-2=0, (-1)^2+1-2=0).
  • Autovetor para \lambda=2: resolver (A-2I)v=0. Uma equação é 3x-6y=0 então x=2y. Tomo v_{1}=(2,1)^{T}.
  • Autovetor para \lambda=-1: resolver (A+I)v=0. Uma equação é 6x-6y=0 então x=y. Tomo v_{2}=(1,1)^{T}.
  • Montando S=[v_{1}\\ v_{2}]=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}. O determinante de S é 2\cdot1-1\cdot1=1, logo S^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
  • Então
e^{A}=S\begin{pmatrix}e^{2} & 0\\[4pt]0 & e^{-1}\end{pmatrix}S^{-1}.
  • Faço as multiplicações explicitamente (para que se possa replicar na prova sem calculadora simbólica):
    • Primeiro S\diag(e^{2},e^{-1})=\begin{pmatrix}2e^{2} & e^{-1}\\[4pt]e^{2} & e^{-1}\end{pmatrix}.
    • Multiplicando por S^{-1}:
e^{A}=\begin{pmatrix}2e^{2}-e^{-1} & -2e^{2}+2e^{-1}\\[6pt]e^{2}-e^{-1} & -e^{2}+2e^{-1}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Exponencial de B. Observação técnica: B tem forma 2I+J onde J=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} e J^{2}=-I. Isso é muito conveniente porque, para uma matriz J com J^{2}=-I, vale
e^{tJ}=I\cos t + J\sin t.
Aqui B=2I+J com t=1, então
e^{B}=e^{2I+J}=e^{2}e^{J}=e^{2}\big(I\cos 1 + J\sin 1\big).
Substituindo J:
e^{B}=e^{2}\begin{pmatrix}\cos 1 & -\sin 1\\[4pt]\sin 1 & \cos 1\end{pmatrix}.
(Isto é uma escala pelo fator e^{2} da matriz de rotação pelo ângulo 1.)]

Passo 4

Exponencial de C. C é triangular superior com autovalor duplo \lambda=2. Podemos escrever C=2I+N onde
N=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
e N^{2}=0 (nilpotente de ordem 2). Como N comuta com I, temos
e^{C}=e^{2I+N}=e^{2}e^{N}=e^{2}\big(I+N\big)
(série truncada porque N^{2}=0). Portanto
e^{C}=e^{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Exponencial de D. Método: diagonalização via autovalores reais distintos.
  • Calculo do polinômio característico: \operatorname{tr}D=2, \det D=-1. Então
\lambda^{2}-2\lambda-1=0,
com raízes
\lambda_{1}=1+\sqrt{2},\qquad \lambda_{2}=1-\sqrt{2}.
  • Autovetores: para \lambda_{k} a equação reduz a -\lambda_{k} x + y =0 então posso escolher v_{k}=(1,\lambda_{k})^{T}.
  • Montando S=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{pmatrix}. Defino \Delta=\lambda_{1}-\lambda_{2}=2\sqrt{2} (positivo).
  • Usa-se e^{D}=S\diag(e^{\lambda_{1}},e^{\lambda_{2}})S^{-1}. Fazendo as multiplicações e simplificando (detalhes algébricos semelhantes aos do passo para A), obtém-se a forma compacta
e^{D}=\frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} \lambda_{1}e^{\lambda_{2}}-\lambda_{2}e^{\lambda_{1}} & e^{\lambda_{1}}-e^{\lambda_{2}}\\[6pt] e^{\lambda_{1}}-e^{\lambda_{2}} & \lambda_{1}e^{\lambda_{1}}-\lambda_{2}e^{\lambda_{2}} \end{pmatrix},
onde \lambda_{1}=1+\sqrt{2}, \lambda_{2}=1-\sqrt{2} e \Delta=2\sqrt{2}.
(Aqui mostrei a expressão em termos dos autovalores; é prática comum em provas deixar dessa forma porque evita frações decimais e é exata.)]

Passo 6

Exponencial de E. E é estritamente triangular superior (todos os elementos da diagonal são zero), logo é nilpotente. Calculo explícito das potências:
  • E=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\[4pt]0 & 0 & 3\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
  • Multiplicando, encontra-se
E^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 3\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad E^{3}=0.
  • Como E^{3}=0, a série do exponencial truncase em ordem 2:
e^{E}=I+E+\frac{1}{2}E^{2}.
  • Somando termo a termo:
e^{E}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \tfrac{7}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Exponencial de F. Observação: F é blocada em forma quase-diagonal; a primeira linha/coluna (o bloco [2]) é separada e o bloco 2\times2 no canto inferior direito tem autovalor repetido 3 e é de forma 3I+L com L nilpotente.
  • Escrevo F=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt]0 & 3 & 0\\[4pt]0 & 1 & 3\end{pmatrix}. Assim F é block-diagonal em blocos [2] e B=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.
  • Para o bloco B tenho B=3I+L com L=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} e L^{2}=0. Logo e^{B}=e^{3}(I+L).
  • Portanto, juntando blocos:
e^{F}=\begin{pmatrix} e^{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & e^{3} & 0\\[4pt] 0 & e^{3} & e^{3} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Exponencial de G. G é um bloco de Jordan inferior de tamanho 3 com autovalor \lambda. Escrevemos G=\lambda I+N com
N=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix},
onde N^{3}=0 e N^{2}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix}.
  • Usando e^{G}=e^{\lambda}e^{N} e truncando a série até N^{2}:
e^{G}=e^{\lambda}\Big(I+N+\tfrac{1}{2}N^{2}\Big).
  • Somando as matrizes dá
e^{G}=e^{\lambda}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Exponencial de H. H é diagonal com entradas i e -i. Para matriz diagonal e^{H} é a diagonal das exponenciais:
e^{H}=\begin{pmatrix}e^{i} & 0\\[4pt]0 & e^{-i}\end{pmatrix}.
(Se quiser escrever em termos reais: e^{i}=\cos 1 + i\sin 1 e e^{-i}=\cos 1 - i\sin 1.)]

Passo 10

Exponencial de J. J é triangular inferior com autovalor \mu=1+i repetido; escrevo J=\mu I+N com
N=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix},\qquad N^{2}=0.
Então
e^{J}=e^{\mu}e^{N}=e^{1+i}(I+N)=e^{1+i}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 11

Exponencial de K. Observação de estrutura: K tem todas as colunas exceto a primeira nulas e a primeira coluna é (1,1,1,1)^{T}. Posso escrever K=u e_{1}^{T} com u=(1,1,1,1)^{T} e e_{1}=(1,0,0,0)^{T}.
  • Produto K^{2}=(u e_{1}^{T})(u e_{1}^{T})=u (e_{1}^{T}u) e_{1}^{T}=(e_{1}^{T}u) \,u e_{1}^{T}. Como e_{1}^{T}u=1, segue K^{2}=K. Assim K é idempotente (projeção de posto 1).
  • Para uma matriz idempotente P vale P^{n}=P para n\ge 1. Portanto a série do exponencial dá
e^{K}=I + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{K^{n}}{n!}=I+K\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}=I+(e-1)K.
  • Logo
e^{K}=I+(e-1)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.]

Resposta

e^{A}=\begin{pmatrix}2e^{2}-e^{-1} & -2e^{2}+2e^{-1}\\[6pt]e^{2}-e^{-1} & -e^{2}+2e^{-1}\end{pmatrix}
e^{B}=e^{2}\begin{pmatrix}\cos 1 & -\sin 1\\[4pt]\sin 1 & \cos 1\end{pmatrix}
e^{C}=e^{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
e^{D}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \lambda_{1}e^{\lambda_{2}}-\lambda_{2}e^{\lambda_{1}} & e^{\lambda_{1}}-e^{\lambda_{2}}\\[6pt] e^{\lambda_{1}}-e^{\lambda_{2}} & \lambda_{1}e^{\lambda_{1}}-\lambda_{2}e^{\lambda_{2}} \end{pmatrix}\quad\text{com }\lambda_{1}=1+\sqrt{2},\\ \lambda_{2}=1-\sqrt{2}
e^{E}=\begin{pmatrix}1 & 1 & \tfrac{7}{2}\\[4pt]0 & 1 & 3\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}
e^{F}=\begin{pmatrix}e^{2} & 0 & 0\\[4pt]0 & e^{3} & 0\\[4pt]0 & e^{3} & e^{3}\end{pmatrix}
e^{G}=e^{\lambda}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]1 & 1 & 0\\[4pt]\tfrac{1}{2} & 1 & 1\end{pmatrix}
e^{H}=\begin{pmatrix}e^{i} & 0\\[4pt]0 & e^{-i}\end{pmatrix}
e^{J}=e^{1+i}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}
e^{K}=I+(e-1)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}]

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