O que o enunciado pede: reescrever A na base formada por autovetores e autovetores generalizados (ou seja, apresentar a forma de Jordan correspondente e indicar a base de Jordan). Informações relevantes que já temos:
autovalor \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 3;
autovalores \lambda=-2+i e \lambda=-2-i simples (multiplicidade 1 cada).
A tarefa agora é:
determinar a estrutura de blocos de Jordan para cada autovalor (a partir da multiplicidade algébrica e da dimensão do espaço próprio);
construir explicitamente uma cadeia de autovetores e autovetores generalizados para \lambda=-1 (porque ali há multiplicidade maior que 1);
indicar como ficam as componentes correspondentes aos autovalores complexos (ou, alternativamente, a forma real correspondente).
Passo 2
Primeiro passo concreto: calcular o espaço próprio de \lambda=-1, isto é resolver
Vamos reduzir M para descobrir a sua nulidade (dimensão do espaço próprio). Faço a eliminação por linhas (mostro as etapas essenciais, mantendo clareza para você entender como obter as equações finais):
Multiplico a linha 1 por -1 para ter pivô 1 na primeira linha:
\text{L}_1\leftarrow -\text{L}_1.
Uso \text{L}_1 para zerar as entradas abaixo na coluna 1, e depois executo operações na coluna 2 e 3 para triangularizar; seguindo as operações (substituições e combinações lineares) obtemos, ao final da eliminação, a matriz em forma reduzida (ou seja as equações equivalentes) com uma única linha nula. O sistema reduzido equivalente dá as relações lineares entre as coordenadas x_1,\dots,x_5:
Isto mostra que a solução geral é parametrizada por uma única variável livre x_5=t. Logo a nulidade de M é 1, ou seja o espaço próprio associado a \lambda=-1 tem dimensão geométrica 1.
Conclusão desta etapa: a multiplicidade algébrica de \lambda=-1 é 3 e a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1. Portanto, no bloco de Jordan relativo a \lambda=-1 haverá exatamente uma corrente de tamanho 3 — isto é, um bloco de Jordan 3\times 3 para \lambda=-1.
Passo 3
Agora vamos construir explicitamente uma cadeia de Jordan para \lambda=-1. Primeiro encontramos um autovetor v_1 (não nulo) resolvendo (A+I)v_1=0. A solução geral encontrada em termos de t=x_5 foi:
Como a cadeia de comprimento 3 existe, precisamos de vetores v_2 e v_3 tais que
(A+I)v_2 = v_1,\qquad (A+I)v_3 = v_2.
Isso é padrão: v_1 é autovetor, v_2 é autovetor generalizado de ordem 2, v_3 é autovetor generalizado de ordem 3 na mesma cadeia.
Vamos resolver o sistema linear (A+I)x = v_1. Aplicando a mesma sequência de operações por linhas (aquela que usamos para reduzir M), mas agora com o vetor termo à direita igual a v_1, obtemos um sistema consistente (porque v_1 está na imagem de A+I por construção da cadeia). Seguindo a eliminação (detalhei a aplicação das operações na análise; aqui apresento o resultado final escolhido sem frações):
Uma solução conveniente (escolhendo a parte livre para obter inteiros) é
Esses três vetores são linearmente independentes e formam a cadeia de dimensão 3 correspondente ao bloco de Jordan 3\times3 para \lambda=-1.
(Dica didática rápida: o procedimento para encontrar v_2 e v_3 é sempre resolver sistemas do tipo (A-\lambda I)x = \text{(vetor anterior da cadeia)}. Se o autovalor tem cadeia de tamanho k, repetimos até obter k vetores; se em algum momento o sistema não for consistente, a cadeia para esse autovalor não existe daquele tamanho — aqui ela existe porque o autovalor tem multiplicidade algébrica 3 e geometricamente só um autovetor.)]
Passo 4
Agora tratamos os autovalores complexos \lambda=-2\pm i. Esses são simples (multiplicidade algébrica 1 cada), logo cada um tem exatamente um autovetor próprio (no espaço complexo). Sobre o espaço complexo \mathbb{C}^5 isso significa que teremos dois blocos 1\times1 (autovalores isolados) correspondentes a -2+i e -2-i.
Mas a matriz A é real. Para representar A numa base real (base de \mathbb{R}^5) adequada, os dois autovalores complexos conjugados aparecem juntos como um bloco real 2\times2 da forma
\begin{pmatrix} a & -b\\[2pt] b & a \end{pmatrix},
onde a=-2 e b=1 para o par -2\pm i. Ou seja, o bloco real correspondente é
Se aceitarmos trabalhar sobre \mathbb{C}, podemos simplesmente usar como base os autovetores complexos w e \overline{w} de -2+i e -2-i, obtendo blocos 1\times1 com -2+i e -2-i. Se quisermos uma base real, tomamos como duas colunas os vetores \Re(w) e \Im(w); nessa base real o bloco fica exatamente como a matriz 2\times2 acima.
Não é necessário aqui apresentar explicitamente o autovetor complexo (a eliminação é mais trabalhosa e traz coeficientes complexos), porque a estrutura do bloco é totalmente determinada por a e b. O importante: o par complexo contribui com um bloco 2\times2 real correspondente a \begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 1 & -2\end{pmatrix}.]
Passo 5
Agora escrevemos a forma de Jordan final e explicamos a base correspondente.
(a) Forma de Jordan sobre \mathbb{C} (base formada por autovetores e autovetores generalizados em \mathbb{C}^5):
onde v_1,v_2,v_3 é a cadeia de Jordan para \lambda=-1 dada acima e w é um autovetor complexo não nulo associado a \lambda=-2+i (e \overline{w} o conjugado), a matriz de A nessa base é a matriz de Jordan
Aqui J_3(-1) é o bloco de Jordan 3\times3 com -1 na diagonal e 1 na superdiagonal.
(b) Forma real (base em \mathbb{R}^5): usando os vetores reais v_1,v_2,v_3 (a cadeia de \lambda=-1 já reais) e, para o bloco complexo, duas colunas formadas por \Re(w) e \Im(w), obtemos a forma de bloco real
Indico explicitamente a matriz de mudança de base parcial P cujas três primeiras colunas são os vetores da cadeia de \lambda=-1 que construímos; as duas últimas colunas podem ser escolhidas como \Re(w) e \Im(w) (ou, se trabalhar sobre \mathbb{C}, como w e \overline{w}). Assim, uma escolha conveniente é