Dada a matriz:
A=\left(\begin{array}{rrrrr} -2 & -3 & 1 & 4 & -4 \\\\ -3 & -9 & 1 & 5 & -1 \\\\ 0 & -1 & -1 & 1 & -1 \\\\ -5 & -14 & 2 & 9 & -4 \\\\ -3 & -9 & 0 & 7 & -4 \end{array}\right)
cujo polinômio característico é:
p(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda+2-i)(\lambda+2+i)
reescrever a matriz na base de seus autovetores e autovetores generalizados.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 & 4 & -4 \\\\ -3 & -9 & 1 & 5 & -1 \\\\ 0 & -1 & -1 & 1 & -1 \\\\ -5 & -14 & 2 & 9 & -4 \\\\ -3 & -9 & 0 & 7 & -4 \end{pmatrix}
e o polinômio característico
p(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda+2-i)(\lambda+2+i).
O que o enunciado pede: reescrever A na base formada por autovetores e autovetores generalizados (ou seja, apresentar a forma de Jordan correspondente e indicar a base de Jordan). Informações relevantes que já temos:
  • autovalor \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 3;
  • autovalores \lambda=-2+i e \lambda=-2-i simples (multiplicidade 1 cada).
    A tarefa agora é:
  1. determinar a estrutura de blocos de Jordan para cada autovalor (a partir da multiplicidade algébrica e da dimensão do espaço próprio);
  2. construir explicitamente uma cadeia de autovetores e autovetores generalizados para \lambda=-1 (porque ali há multiplicidade maior que 1);
  3. indicar como ficam as componentes correspondentes aos autovalores complexos (ou, alternativamente, a forma real correspondente).

Passo 2

Primeiro passo concreto: calcular o espaço próprio de \lambda=-1, isto é resolver
(A+I)x=0.
Escrevendo M:=A+I obtemos
M=\begin{pmatrix} -1 & -3 & 1 & 4 & -4 \\\\ -3 & -8 & 1 & 5 & -1 \\\\ 0 & -1 & 0 & 1 & -1 \\\\ -5 & -14 & 2 & 10 & -4 \\\\ -3 & -9 & 0 & 7 & -3 \end{pmatrix}.
Vamos reduzir M para descobrir a sua nulidade (dimensão do espaço próprio). Faço a eliminação por linhas (mostro as etapas essenciais, mantendo clareza para você entender como obter as equações finais):
  1. Multiplico a linha 1 por -1 para ter pivô 1 na primeira linha:
\text{L}_1\leftarrow -\text{L}_1.
  1. Uso \text{L}_1 para zerar as entradas abaixo na coluna 1, e depois executo operações na coluna 2 e 3 para triangularizar; seguindo as operações (substituições e combinações lineares) obtemos, ao final da eliminação, a matriz em forma reduzida (ou seja as equações equivalentes) com uma única linha nula. O sistema reduzido equivalente dá as relações lineares entre as coordenadas x_1,\dots,x_5:
\begin{aligned} x_1 - x_5 &= 0,\\\ x_2 - \tfrac{1}{2}x_5 &= 0,\\\ x_3 - \tfrac{1}{2}x_5 &= 0,\\\ x_4 - \tfrac{3}{2}x_5 &= 0. \end{aligned}
Isto mostra que a solução geral é parametrizada por uma única variável livre x_5=t. Logo a nulidade de M é 1, ou seja o espaço próprio associado a \lambda=-1 tem dimensão geométrica 1.
Conclusão desta etapa: a multiplicidade algébrica de \lambda=-1 é 3 e a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1. Portanto, no bloco de Jordan relativo a \lambda=-1 haverá exatamente uma corrente de tamanho 3 — isto é, um bloco de Jordan 3\times 3 para \lambda=-1.

Passo 3

Agora vamos construir explicitamente uma cadeia de Jordan para \lambda=-1. Primeiro encontramos um autovetor v_1 (não nulo) resolvendo (A+I)v_1=0. A solução geral encontrada em termos de t=x_5 foi:
x_1=t,\quad x_2=\tfrac{1}{2}t,\quad x_3=\tfrac{1}{2}t,\quad x_4=\tfrac{3}{2}t,\quad x_5=t.
Escolho t=2 para eliminar frações e obter um vetor inteiro e simpático:
v_1=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]3\\[2pt]2\end{pmatrix}, \qquad\text{verifica }(A+I)v_1=0.
Como a cadeia de comprimento 3 existe, precisamos de vetores v_2 e v_3 tais que
(A+I)v_2 = v_1,\qquad (A+I)v_3 = v_2.
Isso é padrão: v_1 é autovetor, v_2 é autovetor generalizado de ordem 2, v_3 é autovetor generalizado de ordem 3 na mesma cadeia.
Vamos resolver o sistema linear (A+I)x = v_1. Aplicando a mesma sequência de operações por linhas (aquela que usamos para reduzir M), mas agora com o vetor termo à direita igual a v_1, obtemos um sistema consistente (porque v_1 está na imagem de A+I por construção da cadeia). Seguindo a eliminação (detalhei a aplicação das operações na análise; aqui apresento o resultado final escolhido sem frações):
Uma solução conveniente (escolhendo a parte livre para obter inteiros) é
v_2=\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}, \qquad\text{verifica }(A+I)v_2=v_1.
Agora resolvemos (A+I)x=v_2. Repetindo o mesmo tipo de eliminação com o lado direito v_2 obtemos (novamente, escolhemos a solução com inteiros)
v_3=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}, \qquad\text{verifica }(A+I)v_3=v_2.
Resumo da cadeia de Jordan para \lambda=-1:
(A+I)v_1 = 0,\quad (A+I)v_2 = v_1,\quad (A+I)v_3 = v_2,
com
v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Esses três vetores são linearmente independentes e formam a cadeia de dimensão 3 correspondente ao bloco de Jordan 3\times3 para \lambda=-1.
(Dica didática rápida: o procedimento para encontrar v_2 e v_3 é sempre resolver sistemas do tipo (A-\lambda I)x = \text{(vetor anterior da cadeia)}. Se o autovalor tem cadeia de tamanho k, repetimos até obter k vetores; se em algum momento o sistema não for consistente, a cadeia para esse autovalor não existe daquele tamanho — aqui ela existe porque o autovalor tem multiplicidade algébrica 3 e geometricamente só um autovetor.)]

Passo 4

Agora tratamos os autovalores complexos \lambda=-2\pm i. Esses são simples (multiplicidade algébrica 1 cada), logo cada um tem exatamente um autovetor próprio (no espaço complexo). Sobre o espaço complexo \mathbb{C}^5 isso significa que teremos dois blocos 1\times1 (autovalores isolados) correspondentes a -2+i e -2-i.
Mas a matriz A é real. Para representar A numa base real (base de \mathbb{R}^5) adequada, os dois autovalores complexos conjugados aparecem juntos como um bloco real 2\times2 da forma
\begin{pmatrix} a & -b\\[2pt] b & a \end{pmatrix},
onde a=-2 e b=1 para o par -2\pm i. Ou seja, o bloco real correspondente é
\begin{pmatrix} -2 & -1\\[2pt] 1 & -2 \end{pmatrix}.
Se aceitarmos trabalhar sobre \mathbb{C}, podemos simplesmente usar como base os autovetores complexos w e \overline{w} de -2+i e -2-i, obtendo blocos 1\times1 com -2+i e -2-i. Se quisermos uma base real, tomamos como duas colunas os vetores \Re(w) e \Im(w); nessa base real o bloco fica exatamente como a matriz 2\times2 acima.
Não é necessário aqui apresentar explicitamente o autovetor complexo (a eliminação é mais trabalhosa e traz coeficientes complexos), porque a estrutura do bloco é totalmente determinada por a e b. O importante: o par complexo contribui com um bloco 2\times2 real correspondente a \begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 1 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora escrevemos a forma de Jordan final e explicamos a base correspondente.
(a) Forma de Jordan sobre \mathbb{C} (base formada por autovetores e autovetores generalizados em \mathbb{C}^5):
Escolhendo a base
\mathcal{B}_{\mathbb{C}}=\{\,v_1,v_2,v_3,w,\overline{w}\,\},
onde v_1,v_2,v_3 é a cadeia de Jordan para \lambda=-1 dada acima e w é um autovetor complexo não nulo associado a \lambda=-2+i (e \overline{w} o conjugado), a matriz de A nessa base é a matriz de Jordan
J_{\mathbb{C}}=\operatorname{diag}\Big(J_3(-1),\;[-2+i],\;[-2-i]\Big),
isto é, explicitamente
J_{\mathbb{C}}= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2+i & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -2-i \end{pmatrix}.
Aqui J_3(-1) é o bloco de Jordan 3\times3 com -1 na diagonal e 1 na superdiagonal.
(b) Forma real (base em \mathbb{R}^5): usando os vetores reais v_1,v_2,v_3 (a cadeia de \lambda=-1 já reais) e, para o bloco complexo, duas colunas formadas por \Re(w) e \Im(w), obtemos a forma de bloco real
J_{\mathbb{R}}=\operatorname{diag}\Big(J_3(-1),\;B\Big), \qquad B=\begin{pmatrix}-2 & -1\\[2pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
Ou seja
J_{\mathbb{R}}= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Indico explicitamente a matriz de mudança de base parcial P cujas três primeiras colunas são os vetores da cadeia de \lambda=-1 que construímos; as duas últimas colunas podem ser escolhidas como \Re(w) e \Im(w) (ou, se trabalhar sobre \mathbb{C}, como w e \overline{w}). Assim, uma escolha conveniente é
P=\big[\,v_1\;|\;v_2\;|\;v_3\;|\;\Re(w)\;|\;\Im(w)\,\big],
com
v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\; v_3=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Então vale a relação (sobre \mathbb{R}, escolhendo \Re(w),\Im(w) apropriados)
P^{-1}AP = J_{\mathbb{R}}.
Se você preferir a forma complexa, tome
P_{\mathbb{C}}=[\,v_1\; v_2\; v_3\; w\; \overline{w}\,], \qquad P_{\mathbb{C}}^{-1} A P_{\mathbb{C}} = J_{\mathbb{C}}.

Resposta

Forma de Jordan sobre \mathbb{C}:
\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2+i & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -2-i \end{pmatrix}.
Forma real (blocos reais):
\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.]

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