) Calcular \frac{d y}{d x} da função definida implicitamente por 4 x^{3} y^{5}+\cos (2 y)=\operatorname{tg}(2 x)+e^{3 y}.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
4x^{3}y^{5} + \cos\bigl(2y\bigr) \;=\;\tan\bigl(2x\bigr) + e^{3y}
e pede \frac{dy}{dx}. O conteúdo principal é derivação implícita, usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=4x^{3}y^{5}+\cos\bigl(2y\bigr)-\tan\bigl(2x\bigr)-e^{3y}
e sabemos que f(x,y)=0. Aplicando \frac{d}{dx} em ambos os lados, vem
\frac{\partial f}{\partial x} \;+\;\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dx}=0.

Passo 3

Calculamos primeiro \frac{\partial f}{\partial x}:
  • De 4x^{3}y^{5} (tratando y como constante) vem 12x^{2}y^{5}.
  • De -\tan(2x) vem -\bigl(\operatorname{sec}^{2}(2x)\cdot 2\bigr)=-2\operatorname{sec}^{2}(2x).
    Os outros termos não dependem de x diretamente.
    Logo
\frac{\partial f}{\partial x} =12x^{2}y^{5}-2\operatorname{sec}^{2}(2x).
Agora \frac{\partial f}{\partial y}:
  • De 4x^{3}y^{5} vem 4x^{3}\cdot5y^{4}=20x^{3}y^{4}.
  • De \cos(2y) vem -\sin(2y)\cdot2=-2\sin(2y).
  • De -e^{3y} vem -e^{3y}\cdot3=-3e^{3y}.
    O termo -\tan(2x) não depende de y.
    Logo
\frac{\partial f}{\partial y} =20x^{3}y^{4}-2\sin(2y)-3e^{3y}.

Passo 4

Da identidade
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dx}=0
isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} =-\frac{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}} {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}} =-\frac{12x^{2}y^{5}-2\operatorname{sec}^{2}(2x)} {20x^{3}y^{4}-2\sin(2y)-3e^{3y}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =-\frac{12x^{2}y^{5}-2\operatorname{sec}^{2}(2x)} {20x^{3}y^{4}-2\sin(2y)-3e^{3y}}.

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