) Ache uma equação da reta tangente à curva x^{3}+y^{3}=9 no ponto ( 1,2 ).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva x^{3}+y^{3}=9 no ponto (1,2). Para isso precisamos encontrar a derivada y'=\frac{dy}{dx} da curva por diferenciação implícita e depois usar a forma ponto-inclinação da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando implicitamente x^{3}+y^{3}=9 em relação a x, obtemos
3x^{2}+3y^{2}\,\frac{dy}{dx}=0
e, isolando \frac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}.

Passo 3

No ponto (1,2), o coeficiente angular m da tangente vale
m=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,2)}=-\frac{1^{2}}{2^{2}}=-\frac{1}{4}.

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação y-y_{0}=m(x-x_{0}) com (x_{0},y_{0})=(1,2) e m=-\tfrac14, temos
y-2=-\tfrac{1}{4}(x-1)
e, ao isolar y,
y=-\tfrac{1}{4}x+\tfrac{1}{4}+2=-\tfrac{1}{4}x+\tfrac{9}{4}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{4}.

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