Calcular \frac{d y}{d x} da função definida implicitamente por 4 x^{3} y^{5}+\cos (2 y)=\operatorname{tg}(2 x)+e^{3 y}.

Passo 1

O enunciado pede \frac{dy}{dx} para a curva dada implicitamente por
4x^{3}y^{5}+\cos(2y)=\tan(2x)+e^{3y}.
O que vamos usar aqui é a técnica de diferenciação implícita, aplicando a regra do produto sempre que tivermos x e y multiplicados, e a regra da cadeia sempre que tivermos uma função composta (por exemplo, \cos(2y), \tan(2x) e e^{3y}).

Passo 2

Diferenciando o lado esquerdo em relação a x:
  • Para 4x^{3}y^{5} usamos produto entre 4x^3 e y^5:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}y^{5}\bigr) =4\bigl(3x^{2}y^{5}+x^{3}\cdot5y^{4}\,y'\bigr) =12x^{2}y^{5}+20x^{3}y^{4}y'.
  • Para \cos(2y) usamos cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(2y)\bigr) =-\sin(2y)\cdot\frac{d}{dx}(2y) =-2\sin(2y)\,y'.
Logo, a derivada do lado esquerdo é
12x^{2}y^{5}+20x^{3}y^{4}y'-2\sin(2y)\,y'.

Passo 3

Diferenciando o lado direito em relação a x:
  • Para \tan(2x) usamos cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(2x)\bigr) =\operatorname{sec}^2(2x)\cdot2 =2\operatorname{sec}^2(2x).
  • Para e^{3y} usamos cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3y}\bigr) =e^{3y}\cdot\frac{d}{dx}(3y) =3e^{3y}\,y'.
Logo, a derivada do lado direito é
2\operatorname{sec}^2(2x)+3e^{3y}\,y'.

Passo 4

Agora igualamos as duas derivadas:
12x^{2}y^{5}+20x^{3}y^{4}y'-2\sin(2y)\,y' = 2\operatorname{sec}^2(2x)+3e^{3y}\,y'.
Em seguida, agrupamos todos os termos que contêm y' num lado e os que não contêm y' no outro:
20x^{3}y^{4}y'-2\sin(2y)\,y'-3e^{3y}\,y' = 2\operatorname{sec}^2(2x)-12x^{2}y^{5}.

Passo 5

Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\bigl(20x^{3}y^{4}-2\sin(2y)-3e^{3y}\bigr) = 2\operatorname{sec}^2(2x)-12x^{2}y^{5}.
Finalmente, isolamos y':
\frac{dy}{dx} = \frac{2\operatorname{sec}^2(2x)-12x^{2}y^{5}}{20x^{3}y^{4}-2\sin(2y)-3e^{3y}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{2\operatorname{sec}^2(2x)-12x^{2}y^{5}}{20x^{3}y^{4}-2\sin(2y)-3e^{3y}}.

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