) Dado x \cos y+y \cos x=1. Calcule \frac{d y}{d x}.
31.) Dada a equação da circunferência centrada na origem de raio 2, x^{2}+y^{2}=4, determine:
a.) as duas funções definidas pela equação em função de x.
b.) a derivada \frac{d y}{d x} para cada função encontrada no item anterior.
c.) a derivada \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
d.) a equação das retas tangentes à circunferência nos pontos ( 1, \pm \sqrt{3} ) considerando as derivadas obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

Temos duas questões de derivação. A primeira é encontrar \frac{dy}{dx} a partir da equação implícita
x\cos y + y\cos x = 1.
A segunda usa a circunferência de raio 2 centrada na origem, dada por
x^{2} + y^{2} = 4,
e pede:
a) resolver para y em função de x;
b) derivar essas funções explicitamente;
c) calcular \frac{dy}{dx} por derivação implícita;
d) obter as retas tangentes nos pontos (1,\pm\sqrt{3}).
Escalar regras de derivação de produto, cadeia e diferenciação implícita.

Passo 2

Derivamos
x\cos y + y\cos x = 1
em relação a x. Pela regra do produto e cadeia:
\frac{d}{dx}(x\cos y)=\cos y - x\sin y\,\frac{dy}{dx}, \quad \frac{d}{dx}(y\cos x)=\frac{dy}{dx}\cos x - y\sin x.
Somando e igualando a zero (derivada de 1 é zero):
\cos y - x\sin y\,y' + y'\cos x - y\sin x = 0.
Agrupando y':
y'(\cos x - x\sin y)=y\sin x - \cos y.
Logo,
\frac{dy}{dx} = \frac{y\sin x - \cos y}{\cos x - x\sin y}.

Passo 3

Da circunferência x^{2}+y^{2}=4 isolamos y:
y^{2}=4-x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y=\pm \sqrt{4-x^{2}}.

Passo 4

Para cada ramo:
y_{1}(x)=\sqrt{4-x^{2}}, \quad y_{2}(x)=-\sqrt{4-x^{2}}.
Derivando:
y_{1}'(x) =\frac{1}{2\sqrt{4-x^{2}}}\cdot(-2x) =-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}},
y_{2}'(x) =-\frac{1}{2\sqrt{4-x^{2}}}\cdot(-2x) =+\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}.

Passo 5

Por derivação implícita de x^{2}+y^{2}=4:
2x + 2y\,\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.
Este resultado coincide com os derivados explícitos ao substituir y=\pm\sqrt{4-x^{2}}.

Passo 6

Nos pontos \bigl(1,\pm\sqrt{3}\bigr) a inclinação é
m=-\frac{x}{y}\Big|_{(1,y)} =-\frac{1}{\pm\sqrt{3}} =\begin{cases} -\tfrac{1}{\sqrt{3}},&y=+\sqrt{3},\\\\ +\tfrac{1}{\sqrt{3}},&y=-\sqrt{3}. \end{cases}

Passo 7

Equações das retas tangentes usando y - y_{0}=m(x-x_{0}):
Para (1,\sqrt{3}) com m=-\tfrac{1}{\sqrt{3}}:
y - \sqrt{3} =-\frac{1}{\sqrt{3}}\,(x-1).
Para (1,-\sqrt{3}) com m=+\tfrac{1}{\sqrt{3}}:
y + \sqrt{3} =\frac{1}{\sqrt{3}}\,(x-1).

Resposta

Para x\cos y + y\cos x =1:
\frac{dy}{dx} =\frac{y\sin x - \cos y}{\cos x - x\sin y}.
Para x^{2}+y^{2}=4:
a) y=\pm\sqrt{4-x^{2}}.
b) y_{1}'=-\tfrac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}, \;y_{2}'=+\tfrac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}.
c) \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.
d) Retas tangentes:
y-\sqrt{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1), \quad y+\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1).

Exercícios relacionados