Calcular \iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V, sendo T a região delimitada por x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=4, x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e z=0.

Passo 1

O problema pede para calcular
\iiint_{T}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dV
onde T é a região em que
1 \le x^{2}+y^{2}\le 4,\quad z\ge 0,\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9.
O conteúdo aqui é coordenadas cilíndricas, pois temos simetria em torno do eixo z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) temos
x^{2}+y^{2}=r^{2}, \quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Os limites são
0\le \theta\le 2\pi, \quad 1\le r\le 2, \quad 0\le z\le \sqrt{9-r^{2}}.
Logo o integral vira
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{r=1}^{2}\!\!\int_{z=0}^{\sqrt{9-r^{2}}} r^{2}\cdot r \,dz\,dr\,d\theta \;=\; \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{1}^{2}\!\! \int_{0}^{\sqrt{9-r^{2}}} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{\sqrt{9-r^{2}}}r^{3}\,dz = r^{3}\,\Bigl[z\Bigr]_{0}^{\sqrt{9-r^{2}}} = r^{3}\,\sqrt{9-r^{2}}.
O integral passa a ser
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{1}^{2} r^{3}\sqrt{9-r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 4

Agora fazemos o integral em r. Definimos
u = 9 - r^{2}, \quad du = -2r\,dr \;\Longrightarrow\; r^{3}\,dr = r^{2}\,r\,dr = (9-u)\Bigl(-\tfrac{du}{2}\Bigr).
Além disso \sqrt{9-r^{2}}=\sqrt{u}. Assim
\int r^{3}\sqrt{9-r^{2}}\,dr = -\tfrac12\int (9-u)\,u^{\tfrac12}\,du = -\tfrac12\Bigl[ 9\int u^{\tfrac12}du \;-\;\int u^{\tfrac32}du \Bigr].
Em display:
-\tfrac12\Bigl[ 9\cdot \tfrac{2}{3}u^{\tfrac32} \;-\;\tfrac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}} \Bigr] = -3\,u^{\tfrac32}+\tfrac15\,u^{\tfrac{5}{2}} \;+\;C.

Passo 5

Voltando a r, os limites são r=1\mapsto u=8 e r=2\mapsto u=5. Então
\int_{1}^{2}r^{3}\sqrt{9-r^{2}}\,dr =\Bigl[-3u^{\tfrac32}+\tfrac15u^{\tfrac{5}{2}}\Bigr]_{8}^{5} =\bigl(-3\cdot5^{\tfrac32} + \tfrac15\cdot5^{\tfrac{5}{2}}\bigr) -\bigl(-3\cdot8^{\tfrac32} + \tfrac15\cdot8^{\tfrac{5}{2}}\bigr).
Como 5^{\tfrac32}=5\sqrt5, 5^{\tfrac{5}{2}}=25\sqrt5, 8^{\tfrac32}=16\sqrt2, 8^{\tfrac{5}{2}}=128\sqrt2, obtemos
\int_{1}^{2}r^{3}\sqrt{9-r^{2}}\,dr = -10\sqrt5 \;+\;\tfrac{112}{5}\sqrt2 = \frac{-50\sqrt5+112\sqrt2}{5}.

Passo 6

Finalmente integramos em \theta, que só dá um fator 2\pi:
\iiint_{T}(x^{2}+y^{2})\,dV = \int_{0}^{2\pi} \Bigl[\int_{1}^{2}r^{3}\sqrt{9-r^{2}}\,dr\Bigr] d\theta = 2\pi\;\frac{-50\sqrt5+112\sqrt2}{5} = \frac{2\pi}{5}\bigl(112\sqrt2 -50\sqrt5\bigr).

Resposta

\iiint_{T}(x^{2}+y^{2})\,dV =\frac{2\pi}{5}\bigl(112\sqrt2 -50\sqrt5\bigr).

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