Exercício 1 Encontre duas mudanças de variáveis distintas que levem o losango de vértices (4,0),(8,2),(4,4) e (0,2) no quadrado unitário no primeiro quadrante. Pelo menos uma das transformações deve ser afim e preservar orientações.

Passo 1

O enunciado pede duas mudanças de variáveis (x,y)\mapsto(u,v) que transformem o losango de vértices (4,0),(8,2),(4,4),(0,2) no quadrado unitário [0,1]\times[0,1]. Pelo menos uma delas deve ser uma aplicação afim com \det>0 (isto é, preservando orientação). Vamos primeiro construir essa transformação afim.

Passo 2

Como o losango é um paralelogramo, uma aplicação afim que envia três vértices em três vértices correspondentes do quadrado já o determina. Escolhemos
T(4,0)=(0,0),\quad T(8,2)=(1,0),\quad T(4,4)=(1,1).
Escrevemos
T(x,y)= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix}
e impomos as imagens acima para achar a_{ij} e b_i.

Passo 3

Das condições
T(4,0)=(0,0)\quad\Longrightarrow\quad 4a_{11}+b_1=0,\;\;4a_{21}+b_2=0,
T(8,2)=(1,0)\quad\Longrightarrow\quad 8a_{11}+2a_{12}+b_1=1,\;\;8a_{21}+2a_{22}+b_2=0,
T(4,4)=(1,1)\quad\Longrightarrow\quad 4a_{11}+4a_{12}+b_1=1,\;\;4a_{21}+4a_{22}+b_2=1,
eliminamos b_1 e b_2 e resolvemos para as componentes de A. O sistema dá
a_{11}=\tfrac18,\quad a_{12}=\tfrac14,\quad a_{21}=-\tfrac18,\quad a_{22}=\tfrac14,
b_1=-\tfrac12,\quad b_2=\tfrac12.

Passo 4

Portanto a transformação afim é
u = \frac{x}{8}+\frac{y}{4}-\frac12,\qquad v = -\frac{x}{8}+\frac{y}{4}+\frac12.
Verificamos que T(0,2)=(0,1), logo todos os quatro vértices vão em (0,0),(1,0),(1,1),(0,1). Além disso
\det A =\frac18\cdot\frac14-\frac14\cdot\bigl(-\tfrac18\bigr) =\frac1{32}+\frac1{32} =\frac1{16}>0,
ou seja, é afim e preserva orientação.

Passo 5

Agora construímos outra mudança de variáveis distinta. Note que o losango, em coordenadas centradas em (4,2), é
\Bigl|\frac{x-4}{4}\Bigr|+\Bigl|\frac{y-2}{2}\Bigr|\le1.
Se definirmos
s=\frac{x-4}{4},\quad t=\frac{y-2}{2},
então o losango vira o “diamante” \lvert s\rvert+\lvert t\rvert\le1. É conhecido que a aplicação
(u',v')=(s+t,\;s-t)
leva esse diamante no quadrado \max\{\lvert u'\rvert,\lvert v'\rvert\}\le1. Finalmente, ao reescalar e transladar para [0,1]^2, tomamos
U=\frac{u'+1}{2},\quad V=\frac{v'+1}{2}.
Compondo tudo e simplificando, obtemos outra aplicação afim (mas agora com \det<0):
U = \frac{x}{8}+\frac{y}{4}-\frac12, \qquad V = \frac{x}{8}-\frac{y}{4}+\frac12.

Resposta

Transformações que levam o losango em [0,1]^2:
(a) Aplicação afim orient. preservada:
u=\frac{x}{8}+\frac{y}{4}-\frac12,\quad v=-\frac{x}{8}+\frac{y}{4}+\frac12.
(b) Segunda aplicação distinta (afim, \det<0):
u=\frac{x}{8}+\frac{y}{4}-\frac12,\quad v=\frac{x}{8}-\frac{y}{4}+\frac12.

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