Calcular \iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V, em que T a região interior ao cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{T}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV
onde T é a região limitada pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, pois nelas a esfera e o cone ficam com limites simples.

Passo 2

Em coordenadas esféricas fazemos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi.
O integrando vira
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2},
e o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

A região T corresponde a
0\le \rho\le 3, \quad 0\le \theta\le 2\pi, \quad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{4},
pois o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} equivale a \varphi=\pi/4.

Passo 4

Assim a integral torna-se
\iiint_{T}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{3} \rho^{2}\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{3} \rho^{4}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calculemos a parte em \rho:
\int_{0}^{3}\rho^{4}\,d\rho =\left.\frac{\rho^{5}}{5}\right|_{0}^{3} =\frac{3^{5}}{5} =\frac{243}{5}.

Passo 6

Agora a parte angular em \varphi e \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/4} =1-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Multiplicando tudo, obtemos
2\pi\;\times\;\frac{243}{5}\;\times\;\Bigl(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) =\frac{486\pi}{5}\Bigl(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) =\frac{243\pi\,(2-\sqrt{2})}{5}.

Resposta

\frac{243\pi\,(2-\sqrt{2})}{5}

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