Calcular \iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V, em que T é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{T}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV
onde T é a esfera sólida de raio 3, ou seja
T=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le9\}.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas para aproveitar a simetria radial do integrando.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, definimos
\begin{cases} x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z=\rho\cos\varphi, \end{cases}
com \rho\ge0, \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi]. O jacobiano vale
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Além disso, na esfera de raio 3 temos \rho\in[0,3].

Passo 3

O integrando x^{2}+y^{2}+z^{2} em coordenadas esféricas fica
x^{2}+y^{2}+z^{2} = \rho^{2}.
Então a integral torna-se
\iiint_{T}\rho^{2}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{3} \rho^{2}\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{3}\rho^{4}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Vamos separar os três integrais:
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{3}\rho^{4}\,d\rho =\frac{\rho^{5}}{5}\Big|_{0}^{3} =\frac{3^{5}}{5} =\frac{243}{5}.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl(-\cos\varphi\bigr)\Big|_{0}^{\pi} =-\bigl(\cos\pi-\cos0\bigr) =-(-1-1) =2.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi.

Passo 5

Multiplicando os três resultados, obtemos
\iiint_{T}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV =\frac{243}{5}\times2\times2\pi =\frac{972\pi}{5}.

Resposta

\frac{972\pi}{5}.

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