Calcular
, em que
é a esfera
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a esfera sólida de raio
, ou seja
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas para aproveitar a simetria radial do integrando.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, definimos
com
,
e
. O jacobiano vale
Além disso, na esfera de raio
temos
.
Passo 3
O integrando
em coordenadas esféricas fica
Então a integral torna-se
Passo 4
Vamos separar os três integrais:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 5
Multiplicando os três resultados, obtemos