Calcular
sendo
e
a parte do gráfico
com normal exterior.
Passo 1
O enunciado pede
onde
e
é o pedaço do paraboloide
com a normal externa ao volume abaixo de
.
Para simplificar, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
Para simplificar, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
Passo 2
A curva
é a interseção do paraboloide com o plano
, isto é
Como a normal externa ao volume aponta para cima, a orientação de
é contrária ao relógio vista de cima. Vamos usar a parametrização padrão
que de fato percorre a circunferência no sentido anti-horário.
Passo 3
Em
temos
Também
Logo o integrando é
Passo 4
Escrevendo
temos
Dividimos em
Para
, use
, daí a primitiva é
, e de
a
dá zero.
Para , note
, então
Para
Somando, o resultado é
.