Calcular \iint_{S} \operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n} sendo \vec{F}=\left(x y^{2}, x, z^{3}\right) e S a parte do gráfico z=16-x^{2}-y^{2}, \quad z \geq 0 com normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{S}\bigl(\nabla\times \vec F\bigr)\cdot \vec n\,dS
onde \vec F=(x y^{2},\,x,\,z^{3}) e S é o pedaço do paraboloide
z=16-x^{2}-y^{2},\quad z\ge0
com a normal externa ao volume abaixo de S.
Para simplificar, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS \;=\;\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r.

Passo 2

A curva \partial S é a interseção do paraboloide com o plano z=0, isto é
x^{2}+y^{2}=16,\quad z=0.
Como a normal externa ao volume aponta para cima, a orientação de \partial S é contrária ao relógio vista de cima. Vamos usar a parametrização padrão
\vec r(t) = \bigl(4\cos t,\;4\sin t,\;0\bigr),\quad 0\le t\le 2\pi,
que de fato percorre a circunferência no sentido anti-horário.

Passo 3

Em z=0 temos
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(x\,y^{2},\,x,\,0^{3}\bigr) =\bigl(4\cos t\,(4\sin t)^{2},\;4\cos t,\;0\bigr) =(64\cos t\sin^{2}t,\;4\cos t,\;0).
Também
d\vec r = \vec r\,'(t)\,dt =(-4\sin t,\;4\cos t,\;0)\,dt.
Logo o integrando é
\vec F\cdot d\vec r =64\cos t\sin^{2}t\,(-4\sin t)\,dt \;+\;4\cos t\,(4\cos t)\,dt.

Passo 4

Escrevendo
\vec F\cdot d\vec r =-256\cos t\sin^{3}t\,dt \;+\;16\cos^{2}t\,dt,
temos
\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\!\bigl(-256\cos t\sin^{3}t +16\cos^{2}t\bigr)\,dt.
Dividimos em
I_{1}=-256\int_{0}^{2\pi}\cos t\sin^{3}t\,dt, \quad I_{2}=16\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt.
Para I_{1}, use u=\sin t, daí a primitiva é -64\sin^{4}t, e de 0 a 2\pi dá zero.
Para I_{2}, note \cos^{2}t=(1+\cos2t)/2, então
I_{2} =16\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos2t}{2}\,dt =8\bigl[\,t + \tfrac12\sin2t\bigr]_{0}^{2\pi} =8\cdot2\pi =16\pi.
Somando, o resultado é 0+16\pi=16\pi.

Resposta

16\pi

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