Usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha dada.
\oint_{C}\left[\left(y^{3} \cos (x z)\right) d x+\left(2 x^{2}+z^{2}\right) d y+y(x-z) d z\right],
e C é o retângulo 0 \leq x \leq 4 \quad 0 \leq z \leq 1, no plano y=2. Considerar os dois sentidos de percurso.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\displaystyle \oint_{C}\bigl[P\,dx + Q\,dy + R\,dz\bigr]
para
P = y^{3}\cos(xz),\quad Q = 2x^{2} + z^{2},\quad R = y(x - z),
em que C é o contorno do retângulo 0 \le x \le 4,\;0 \le z \le 1 no plano y=2.
Como temos uma curva fechada em um plano, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{F}=(P,Q,R) e S é a superfície plana limitada por C.

Passo 2

Calculamos \nabla\times \mathbf{F}.
\nabla\times \mathbf{F} =\Bigl(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\Bigr).
Derivando:
R_{y} = x - z,\quad Q_{z} = 2z,
P_{z} = y^{3}\bigl(-x\sin(xz)\bigr),\quad R_{x} = y,
Q_{x} = 4x,\quad P_{y} = 3y^{2}\cos(xz).
Logo
\nabla\times \mathbf{F} =\bigl(x-3z,\,-x\,y^{3}\sin(xz)-y,\;4x-3y^{2}\cos(xz)\bigr).

Passo 3

Parametrizamos S por \mathbf{r}(x,z)=(x,2,z), com 0\le x\le4, 0\le z\le1.
Então
\mathbf{r}_{x}=(1,0,0),\quad \mathbf{r}_{z}=(0,0,1),
\mathbf{n}\,dS = \mathbf{r}_{x}\times \mathbf{r}_{z}\,dx\,dz=(0,-1,0)\,dx\,dz.
Em y=2, a componente normal de \nabla\times\mathbf{F} é
(\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} =\bigl(-x\,2^{3}\sin(xz)-2\bigr)\,(-1) =8x\sin(xz)+2.

Passo 4

Pela fórmula de Stokes:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S}(8x\sin(xz)+2)\,dx\,dz = \int_{0}^{4}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(8x\sin(xz)+2\bigr)\,dz\,dx.
Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{1}8x\sin(xz)\,dz =8x\Bigl[-\tfrac{1}{x}\cos(xz)\Bigr]_{0}^{1} =8\bigl(1-\cos x\bigr),
e
\int_{0}^{1}2\,dz = 2.
Somando,
\int_{0}^{1}(8x\sin(xz)+2)\,dz = 10 - 8\cos x.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{4}\bigl(10 - 8\cos x\bigr)\,dx =10\cdot4 -8\bigl[\sin x\bigr]_{0}^{4} =40 -8\sin(4).
Esse é o valor da integral de linha para o sentido positivo induzido pelo normal (0,-1,0).

Passo 6

Se o percurso de C for invertido, a integral de linha muda de sinal.
Portanto, para os dois sentidos de C temos:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\begin{cases} 40 - 8\sin(4),&\text{sentido positivo (induzido por }(0,-1,0)),\\\\ -\,\bigl(40 - 8\sin(4)\bigr),&\text{sentido oposto}. \end{cases}

Resposta

Para o sentido de percurso induzido por \mathbf{n}=(0,-1,0):
\oint_{C}\!\bigl(y^{3}\cos(xz)\,dx + (2x^{2}+z^{2})\,dy + y(x-z)\,dz\bigr) =40 - 8\sin(4).
Para o sentido oposto:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -40 + 8\sin(4).

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