Usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha dada. \oint_{C}\left[\left(y^{3} \cos (x z)\right) d x+\left(2 x^{2}+z^{2}\right) d y+y(x-z) d z\right],
e C é o retângulo 0 \leq x \leq 4 \quad 0 \leq z \leq 1, no plano y=2. Considerar os dois sentidos de percurso.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha \displaystyle \oint_{C}\bigl[P\,dx + Q\,dy + R\,dz\bigr]
para
P = y^{3}\cos(xz),\quad Q = 2x^{2} + z^{2},\quad R = y(x - z),
em que C é o contorno do retângulo 0 \le x \le 4,\;0 \le z \le 1 no plano y=2.
Como temos uma curva fechada em um plano, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz