Calcular as integrais abaixo.
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{4-e^{2 x}}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{4-e^{2x}}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando contém e^{x} no numerador e \sqrt{4-e^{2x}} no denominador.
  • Para que a raiz esteja bem definida (no contexto de funções reais) é necessário que 4-e^{2x}>0, isto é e^{2x}<4 ou, equivalentemente, x<\ln 2. A integral será tratada em intervalos onde isso vale.

Passo 2

Observação e escolha de substituição: o numerador é exatamente a derivada de e^{x}. Isso sugere a substituição
u=e^{x}.
Explico: quando fazemos uma substituição, queremos que a diferencial du apareça de forma simples no integrando. Derivando u em relação a x obtemos
du=\frac{d}{dx}(e^{x})\,dx=e^{x}\,dx.
Portanto a combinação e^{x}\,dx do integrando passa a ser simplesmente du.

Passo 3

Aplicando a substituição u=e^{x} e du=e^{x}\,dx transformamos a integral original em uma integral mais simples:
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{4-e^{2x}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du.
Agora o problema é calcular \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du.

Passo 4

Vou usar uma identidade padrão para integrais da forma \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\,du. A fórmula conhecida é
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\,du=\arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right)+C,
onde a>0. Vou demonstrar rapidamente essa fórmula por substituição trigonométrica para você entender bem como surge.
Demonstração (substituição trigonométrica):
  • Faça u=a\sin\theta. Então du=a\cos\theta\,d\theta.
  • Observe que \sqrt{a^{2}-u^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta}=a\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=a\cos\theta (escolhendo \theta tal que \cos\theta\ge0, o que é consistente no intervalo de definição).
  • Substituindo na integral:
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\,du = \int \frac{1}{a\cos\theta}\cdot a\cos\theta\,d\theta = \int d\theta = \theta + C.
  • Voltando à variável u, como u=a\sin\theta temos \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{u}{a}\right). Logo a integral vale \arcsin\!\left(\dfrac{u}{a}\right)+C, como anunciado.

Passo 5

No nosso caso a=2. Aplicando a fórmula com a=2 na integral em u obtida no Passo 3:
\int \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du=\arcsin\!\left(\frac{u}{2}\right)+C.
Voltando à variável original x através de u=e^{x}, a primitiva fica
\arcsin\!\left(\frac{e^{x}}{2}\right)+C.

Passo 6

Verificação (diferenciação) para ficar seguro: calcule a derivada de \arcsin\!\left(\dfrac{e^{x}}{2}\right).
  • Se F(x)=\arcsin\!\left(\dfrac{e^{x}}{2}\right), use regra da cadeia. Para g(t)=\arcsin(t) tem g'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}. Tomando t=\dfrac{e^{x}}{2} obtemos t'=\dfrac{e^{x}}{2}.
  • Logo
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{e^{x}}{2}\right)^{2}}}\cdot\frac{e^{x}}{2}.
  • Simplificando o radical:
\sqrt{1-\left(\dfrac{e^{x}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4-e^{2x}}{4}}=\frac{\sqrt{4-e^{2x}}}{2}.
  • Substituindo na expressão de F'(x):
F'(x)=\frac{e^{x}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{4-e^{2x}}}=\frac{e^{x}}{\sqrt{4-e^{2x}}}.
Isso coincide com o integrando original, portanto a antiderivada está correta (no domínio onde tudo está definido, isto é x<\ln 2).

Resposta

\arcsin\!\left(\dfrac{e^{x}}{2}\right)+C

Exercícios relacionados