Calcular as integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando contém
no numerador e no denominador. - Para que a raiz esteja bem definida (no contexto de funções reais) é necessário que
, isto é ou, equivalentemente, . A integral será tratada em intervalos onde isso vale.
Passo 2
Observação e escolha de substituição: o numerador é exatamente a derivada de
. Isso sugere a substituição
Explico: quando fazemos uma substituição, queremos que a diferencial
apareça de forma simples no integrando. Derivando
em relação a
obtemos
Portanto a combinação
do integrando passa a ser simplesmente
.
Passo 3
Aplicando a substituição
e
transformamos a integral original em uma integral mais simples:
Agora o problema é calcular
.
Passo 4
Vou usar uma identidade padrão para integrais da forma
. A fórmula conhecida é
onde
. Vou demonstrar rapidamente essa fórmula por substituição trigonométrica para você entender bem como surge.
Demonstração (substituição trigonométrica):
- Faça
. Então . - Observe que
(escolhendo tal que , o que é consistente no intervalo de definição). - Substituindo na integral:
- Voltando à variável
, como temos . Logo a integral vale , como anunciado.
Passo 5
No nosso caso
. Aplicando a fórmula com
na integral em
obtida no Passo 3:
Voltando à variável original
através de
, a primitiva fica
Passo 6
Verificação (diferenciação) para ficar seguro: calcule a derivada de
.
- Se
, use regra da cadeia. Para tem . Tomando obtemos . - Logo
- Simplificando o radical:
- Substituindo na expressão de
:
Isso coincide com o integrando original, portanto a antiderivada está correta (no domínio onde tudo está definido, isto é
).