Determine o plano tangente a superficie \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superficie: x=\cos (u) \sin (v), y=\sin (u) \sin (v), z=\cos (v) sendo um cone no ponto (0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o plano tangente à superfície \mathbf{r}(u,v) no ponto \boldsymbol{P}_{0}=(0,0,0).
As informações dadas:
  • A parametrização da superfície é
\mathbf{r}(u,v)=\bigl(\cos(u)\sin(v),\;\sin(u)\sin(v),\;\cos(v)\bigr).
  • O ponto onde pedem o plano tangente é \boldsymbol{P}_{0}=(0,0,0).

Passo 2

Primeiro recapitular a definição prática (fórmula) de plano tangente a uma superfície parametrizada.
Se a superfície é \mathbf{r}(u,v) e (u_0,v_0) é um par de parâmetros tal que \mathbf{r}(u_0,v_0) é o ponto de interesse, então:
  • os vetores tangentes à superfície naquele ponto são \mathbf{r}_u(u_0,v_0) e \mathbf{r}_v(u_0,v_0), onde \mathbf{r}_u=\partial\mathbf{r}/\partial u e \mathbf{r}_v=\partial\mathbf{r}/\partial v;
  • um vetor normal à superfície naquele ponto é o produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{r}_u(u_0,v_0)\times\mathbf{r}_v(u_0,v_0).
O plano tangente (quando bem definido) tem equação vetorial
\mathbf{n}\cdot\bigl(\mathbf{X}-\mathbf{r}(u_0,v_0)\bigr)=0,
onde \mathbf{X}=(x,y,z) representa um ponto genérico no plano.
Observação essencial: para aplicar isso é necessário que o ponto pedido pertença à superfície; isto é, exista (u_0,v_0) tal que \mathbf{r}(u_0,v_0)=\boldsymbol{P}_{0}. Se o ponto não pertence à superfície, a questão do “plano tangente à superfície no ponto” não faz sentido.

Passo 3

Vamos verificar se \boldsymbol{P}_{0}=(0,0,0) pertence à superfície parametrizada.
Calcule o quadrado da norma de \mathbf{r}(u,v):
\begin{aligned} \|\mathbf{r}(u,v)\|^{2} &= \bigl(\cos(u)\sin(v)\bigr)^{2}+\bigl(\sin(u)\sin(v)\bigr)^{2}+\bigl(\cos(v)\bigr)^{2}\\[4pt] &= \sin^{2}(v)\bigl(\cos^{2}(u)+\sin^{2}(u)\bigr)+\cos^{2}(v)\\[4pt] &= \sin^{2}(v)\cdot 1 + \cos^{2}(v)\\[4pt] &= \sin^{2}(v)+\cos^{2}(v)=1. \end{aligned}
Portanto para toda (u,v) válido tem-se \|\mathbf{r}(u,v)\|^{2}=1, ou seja
\|\mathbf{r}(u,v)\|=1.
Isto mostra que todos os pontos da superfície satisfazem x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 (a superfície é a esfera unitária). Em particular, nenhum ponto da parametrização é o vetor nulo (0,0,0), pois \|(0,0,0)\|=0\neq 1.
Logo não existe (u_0,v_0) tal que \mathbf{r}(u_0,v_0)=\boldsymbol{P}_{0}=(0,0,0).]

Passo 4

Dado o resultado anterior, concluímos que não faz sentido buscar o plano tangente da superfície dada em \boldsymbol{P}_{0}=(0,0,0), porque esse ponto não está na superfície.
Para tornar a explicação didática, mostro também como seria o procedimento quando o ponto pertence à superfície: calcular \mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v, o normal e escrever a equação do plano. Isso ajuda a aplicar o método caso o ponto correto seja fornecido.
Calculemos as derivadas parciais (não dependem de um ponto específico):
\mathbf{r}_u(u,v)=\bigl(-\sin(u)\sin(v),\;\cos(u)\sin(v),\;0\bigr),
\mathbf{r}_v(u,v)=\bigl(\cos(u)\cos(v),\;\sin(u)\cos(v),\; -\sin(v)\bigr).
Agora o produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v. Fazendo as contas componente a componente obtém-se
\mathbf{r}_u(u,v)\times\mathbf{r}_v(u,v) = -\sin(v)\,\mathbf{r}(u,v).
(Isto aparece naturalmente porque a superfície é a esfera unitária e o vetor normal aponta radialmente.)
Dessa expressão segue que o produto vetorial é nulo exatamente quando \sin(v)=0, isto é nos polos v=0 e v=\pi — que são pontos onde a parametrização é degenerada. Mesmo assim, geometricamente a esfera tem plano tangente também nesses polos; nesses casos usa-se uma outra parametrização ou o método implícito ( x^{2}+y^{2}+z^{2}=1) para obter a equação do plano tangente. Por exemplo, pelo método implícito o plano tangente no polo norte (0,0,1) é z=1.

Passo 5

Resumo e conclusão direta sobre a pergunta original: o ponto pedido \boldsymbol{P}_{0}=(0,0,0) não pertence à superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) (a parametrização descreve a esfera unitária), portanto não existe plano tangente da superfície naquele ponto — a pergunta, tal como está, não tem solução porque pressupõe um ponto que não está na superfície.

Resposta

O ponto (0,0,0) não pertence à superfície \mathbf{r}(u,v); portanto não existe plano tangente da superfície nesse ponto.

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