Determine o plano tangente a superficie
no ponto
.
Superficie:
sendo um cone no ponto
.
Superficie:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o plano tangente à superfície
no ponto
.
As informações dadas:
- A parametrização da superfície é
- O ponto onde pedem o plano tangente é
.
Passo 2
Primeiro recapitular a definição prática (fórmula) de plano tangente a uma superfície parametrizada.
Se a superfície é
e
é um par de parâmetros tal que
é o ponto de interesse, então:
- os vetores tangentes à superfície naquele ponto são
e , onde e ; - um vetor normal à superfície naquele ponto é o produto vetorial
O plano tangente (quando bem definido) tem equação vetorial
onde
representa um ponto genérico no plano.
Observação essencial: para aplicar isso é necessário que o ponto pedido pertença à superfície; isto é, exista
tal que
. Se o ponto não pertence à superfície, a questão do “plano tangente à superfície no ponto” não faz sentido.
Passo 3
Vamos verificar se
pertence à superfície parametrizada.
Calcule o quadrado da norma de
:
Portanto para toda
válido tem-se
, ou seja
Isto mostra que todos os pontos da superfície satisfazem
(a superfície é a esfera unitária). Em particular, nenhum ponto da parametrização é o vetor nulo
, pois
.
Logo não existe
tal que
.]
Passo 4
Dado o resultado anterior, concluímos que não faz sentido buscar o plano tangente da superfície dada em
, porque esse ponto não está na superfície.
Para tornar a explicação didática, mostro também como seria o procedimento quando o ponto pertence à superfície: calcular
,
, o normal e escrever a equação do plano. Isso ajuda a aplicar o método caso o ponto correto seja fornecido.
Calculemos as derivadas parciais (não dependem de um ponto específico):
Agora o produto vetorial
. Fazendo as contas componente a componente obtém-se
(Isto aparece naturalmente porque a superfície é a esfera unitária e o vetor normal aponta radialmente.)
Dessa expressão segue que o produto vetorial é nulo exatamente quando
, isto é nos polos
e
— que são pontos onde a parametrização é degenerada. Mesmo assim, geometricamente a esfera tem plano tangente também nesses polos; nesses casos usa-se uma outra parametrização ou o método implícito (
) para obter a equação do plano tangente. Por exemplo, pelo método implícito o plano tangente no polo norte
é
.
Passo 5
Resumo e conclusão direta sobre a pergunta original: o ponto pedido
não pertence à superfície parametrizada por
(a parametrização descreve a esfera unitária), portanto não existe plano tangente da superfície naquele ponto — a pergunta, tal como está, não tem solução porque pressupõe um ponto que não está na superfície.
Resposta
O ponto
não pertence à superfície
; portanto não existe plano tangente da superfície nesse ponto.