Calcular as integrais indefinidas.
\int \operatorname{tg}^{2} x \operatorname{cosec}{ }^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \int \tan^2 x\,\csc^2 x\,dx. O conteúdo necessário envolve identidades trigonométricas para simplificação do integrando e a antiderivada básica de \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Usamos as identidades
\tan^2 x = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} e \csc^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x}. Então
\tan^2 x\;\csc^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\;\frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

A integral fica
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx.
Como sabemos que
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x,
uma primitiva de \operatorname{sec}^2 x é \tan x.

Resposta

\tan x + C

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