Calcular as integrais:
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x+4 \operatorname{sen} x+5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x+4 \operatorname{sen} x+5}\,dx.
Informações importantes fornecidas:
  • O numerador é \cos x.
  • O denominador é um polinômio em \operatorname{sen} x: \operatorname{sen}^{2} x+4\operatorname{sen} x+5.
  • A tarefa é encontrar a antiderivada (integral indefinida), isto é, uma função cuja derivada é a expressão integranda, mais a constante de integração.

Passo 2

Observação crucial (motivação para o próximo passo): o denominador depende apenas de \operatorname{sen} x e o numerador é \cos x. Isso sugere a substituição
u=\operatorname{sen} x,
porque a derivada de \operatorname{sen} x em relação a x é \cos x. Vamos usar essa substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Calcular du. Derivando u=\operatorname{sen} x obtemos
du=\cos x\,dx.
Portanto o diferencial \cos x\,dx do numerador é exatamente du. Substituindo na integral original temos
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x+4 \operatorname{sen} x+5}\,dx = \int \frac{du}{u^{2}+4u+5}.
Agora trabalhamos com uma integral racional em u.

Passo 4

Simplificar o denominador completando o quadrado. Para o polinômio u^{2}+4u+5 fazemos:
u^{2}+4u+5 = (u^{2}+4u+4)+1 = (u+2)^{2}+1.
Completar o quadrado serve para transformar um polinômio quadrático numa soma de um quadrado perfeito mais uma constante, o que facilita integrá-lo com fórmulas conhecidas.

Passo 5

Reconhecer a forma padrão. A integral ficou
\int \frac{du}{(u+2)^{2}+1}.
Conhecimento útil (fórmula): para variável v vale
\frac{d}{dv}\bigl(\arctan v\bigr)=\frac{1}{1+v^{2}},
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\int \frac{dv}{1+v^{2}}=\arctan v + C.
Mais geral, se tivermos \int \frac{du}{(u+a)^{2}+b^{2}}, a primitiva é \frac{1}{b}\arctan\!\bigl(\frac{u+a}{b}\bigr)+C. No nosso caso a=2 e b=1, portanto
\int \frac{du}{(u+2)^{2}+1}=\arctan(u+2)+C.

Passo 6

Voltar à variável original x usando u=\operatorname{sen} x. Assim a primitiva da integral original é
\arctan\bigl(\operatorname{sen} x + 2\bigr)+C,
onde C é a constante de integração. Boa! A conta fechou direitinho porque a substituição foi natural.

Resposta

\arctan\bigl(\operatorname{sen} x + 2\bigr)+C

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