Calcular as integrais:
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x+4 \operatorname{sen} x+5} d x
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x+4 \operatorname{sen} x+5} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações importantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é um polinômio em
: . - A tarefa é encontrar a antiderivada (integral indefinida), isto é, uma função cuja derivada é a expressão integranda, mais a constante de integração.
Passo 2
Observação crucial (motivação para o próximo passo): o denominador depende apenas de
e o numerador é
. Isso sugere a substituição
porque a derivada de
em relação a
é
. Vamos usar essa substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Calcular
. Derivando
obtemos
Portanto o diferencial
do numerador é exatamente
. Substituindo na integral original temos
Agora trabalhamos com uma integral racional em
.
Passo 4
Simplificar o denominador completando o quadrado. Para o polinômio
fazemos:
Completar o quadrado serve para transformar um polinômio quadrático numa soma de um quadrado perfeito mais uma constante, o que facilita integrá-lo com fórmulas conhecidas.
Passo 5
Reconhecer a forma padrão. A integral ficou
Conhecimento útil (fórmula): para variável
vale
logo
Mais geral, se tivermos
, a primitiva é
. No nosso caso
e
, portanto
Passo 6
Voltar à variável original
usando
. Assim a primitiva da integral original é
onde
é a constante de integração. Boa! A conta fechou direitinho porque a substituição foi natural.