Calcular as integrais:
\int \frac{\boldsymbol{\operatorname { l n } x}}{\boldsymbol{x} \boldsymbol{\operatorname { l n }} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}} \boldsymbol{d x}
\int \frac{\boldsymbol{\operatorname { l n } x}}{\boldsymbol{x} \boldsymbol{\operatorname { l n }} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}} \boldsymbol{d x}
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral
Informações dadas e observações iniciais que vou usar:
- A expressão envolve logaritmos naturais, então vou assumir inicialmente
(para que seja real). - Quero simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos antes de integrar.
- Pergunta única: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função indicada.
Passo 2
Propriedade de logaritmos que vou usar: para todo
,
Explicando: a regra geral é
. Como já assumimos
, podemos escrever
. Essa igualdade transforma a integral em algo mais simples.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao integrando:
desde que
(ou seja,
). Aqui eu cancelei
numerador e denominador; esse cancelamento é legítimo para
com
. Note que em
tinha uma forma
, mas o limite existe e coincide com o valor da função simplificada: é uma descontinuidade removível. Portanto, para fins de integração em intervalos dentro de
podemos integrar a função simplificada
.
Passo 4
Método por substituição (didática alternativa e curta): seja
. Então
. Reescrevendo a integral,
Mas
, logo a integral em
fica
Voltando a
obtemos
. Essa derivação mostra de forma clara por que a simplificação dá o resultado final.
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derive a candidata
:
que é exatamente a forma simplificada do integrando para
. Portanto
é uma primitiva válida (até constante).
Passo 6
Comentário sobre domínio e notações: como a integral original envolve
sem barras de valor absoluto, a resposta natural no contexto real é para
. Se preferir uma forma que valha para
quando se interpretam logaritmos como
, pode-se escrever
. Ambas as formas representam a mesma família de primitivas nos domínios adequados.