Calcular as integrais:
\int \frac{\boldsymbol{\operatorname { l n } x}}{\boldsymbol{x} \boldsymbol{\operatorname { l n }} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}} \boldsymbol{d x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
\int \frac{\ln x}{x\,\ln x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais que vou usar:
  • A expressão envolve logaritmos naturais, então vou assumir inicialmente x>0 (para que \ln x seja real).
  • Quero simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos antes de integrar.
  • Pergunta única: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função indicada.

Passo 2

Propriedade de logaritmos que vou usar: para todo x\neq0,
\ln x^{2}=2\ln|x|.
Explicando: a regra geral é \ln(a^{b})=b\ln|a|. Como já assumimos x>0, podemos escrever \ln x^{2}=2\ln x. Essa igualdade transforma a integral em algo mais simples.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao integrando:
\frac{\ln x}{x\,\ln x^{2}}=\frac{\ln x}{x\cdot 2\ln x}=\frac{1}{2x},
desde que \ln x\neq0 (ou seja, x\neq1). Aqui eu cancelei \ln x numerador e denominador; esse cancelamento é legítimo para x>0 com x\neq1. Note que em x=1 tinha uma forma 0/0, mas o limite existe e coincide com o valor da função simplificada: é uma descontinuidade removível. Portanto, para fins de integração em intervalos dentro de x>0 podemos integrar a função simplificada \tfrac{1}{2x}.

Passo 4

Método por substituição (didática alternativa e curta): seja \,u=\ln x. Então \,du=\dfrac{dx}{x}. Reescrevendo a integral,
\int \frac{\ln x}{x\,\ln x^{2}}\,dx=\int \frac{u}{\ln x^{2}}\,du.
Mas \ln x^{2}=2\ln x=2u, logo a integral em u fica
\int \frac{u}{2u}\,du=\int \frac{1}{2}\,du=\frac{u}{2}+C.
Voltando a x obtemos \dfrac{1}{2}\ln x + C. Essa derivação mostra de forma clara por que a simplificação dá o resultado final.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derive a candidata F(x)=\dfrac{1}{2}\ln x:
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x},
que é exatamente a forma simplificada do integrando para x>0. Portanto F é uma primitiva válida (até constante).

Passo 6

Comentário sobre domínio e notações: como a integral original envolve \ln x sem barras de valor absoluto, a resposta natural no contexto real é para x>0. Se preferir uma forma que valha para x\neq0 quando se interpretam logaritmos como \ln|x|, pode-se escrever \tfrac{1}{2}\ln|x|+C. Ambas as formas representam a mesma família de primitivas nos domínios adequados.

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln x + C

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