Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, em que: f(x, y)=x cos (x y) R=(x, y) mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= pi2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a função é e a região é definida por e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que permite calcular o volume sob a superfície da função sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. A região integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integral0^2 integral0^pi2 x cos(xy) , dy , dx é retangular, então podemos escrever:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^pi2 x cos(xy) , dy :
x integral0^pi2 cos(xy) , dy
Como é tratado como uma constante nessa integração, podemos tirar ele de fora:

Passo 4

Para resolver x integral0^pi2 cos(u) cdot dux = integral0^pi2x cos(u) , du , fazemos uma substituição simples. Seja integral cos(u) , du = sin(u) , então sin(pi2x) - sin(0) = sin(pi2x) , ou seja, . Substituindo:
Integrando :
Então, avaliando os limites:

Passo 5

Agora, voltamos à integral externa, que ficou assim:
integral0^2 sin(pi2x) , dx
Vamos integrar integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C em relação a -2pi cos(pi2x) . Sabemos que:
Aqui, , então:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de -2pi [ cos(pi2 cdot 2) - cos(pi2 cdot 0) ] = -2pi [ cos(pi) - cos(0) ] a -2pi [ -1 - 1 ] = -2pi (-2) = 4pi :
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral dupla vale .

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