campo vetorial gradiente
Determine o campo vetorial gradiente nabla f da função f(x, y, z) = x^2 * y - y * z + z * x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o campo vetorial gradiente, denotado por nabla f, da função . O gradiente é essencial em cálculo multivariável porque ele aponta na direção de maior crescimento da função e nos dá informações sobre inclinação. Para encontrar o gradiente, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x. A derivada parcial em relação a x significa que tratamos y e z como constantes enquanto derivamos em relação a x.
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y. Aqui, x e z são tratados como constantes.

Passo 4

Por último, calculamos a derivada parcial de f em relação a z. Tratando x e y como constantes:

Resposta

Juntando todas as derivadas parciais, o campo vetorial gradiente da função f é:

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