Calcular integral duplaR(x^2+y^2) d x d y, em que R é a região delimitada por y=raizx, x=4 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
integral duplaR(x^2+y^2),dx,dy
onde R é a região do plano limitada por y=raizx, x=4 e y=0.
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas, e vamos parametrizar R escolhendo integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Para cada x entre 0 e 4, y varia de 0 até raizx. Logo a integral fica
integralx=0^4!integraly=0^raizxl(x^2+y^2r),dy,dx

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
integral0^raizxl(x^2+y^2r),dy = l[x^2y + tfrac13y^3r]0^raizx = x^2raizx + tfrac13l(raizxr)^3 = x^tfrac52 + tfrac13x^tfrac32

Passo 4

Agora integramos em x:
integral0^4l(x^tfrac52 + tfrac13x^tfrac32r),dx = l[tfrac27x^tfrac72 + tfrac215x^tfrac52r]0^4
Substituindo x=4 (e lembrando 4^tfrac12=2, 4^tfrac72=128, 4^tfrac52=32) dá
tfrac27cdot128 ;+;tfrac215cdot32 = tfrac2567 + tfrac6415

Passo 5

Colocando na mesma fração:
tfrac2567 + tfrac6415 = 256cdot15 + 64cdot7105 = 3840 + 448105 = 4288105

Resposta

4288105

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