Calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to\infty} e^{-x}\sin x.
Este é um limite que envolve uma exponencial decrescente e uma função trigonométrica oscilante. Para resolver, vamos usar o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”), pois sabemos que \sin x é limitada e que e^{-x} tende a zero.

Passo 2

Lembramos que, para todo x, -1 \le \sin x \le 1.
Isso mostra que a parte oscilante fica sempre entre -1 e 1.

Passo 3

Como e^{-x}>0 para todo x, podemos multiplicar a desigualdade por e^{-x} sem inverter o sentido:
-\,e^{-x} \;\le\; e^{-x}\sin x \;\le\; e^{-x}.

Passo 4

Avaliamo​s os limites das funções extremas:
\lim_{x\to\infty} e^{-x} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to\infty} -\,e^{-x} = 0.
Pelo Teorema do Confronto, se a “função intermediária” fica entre duas que vão a zero, então ela também tende a zero.

Resposta

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