8 Resolva, em \mathbb{R}, as inequações a seguir.
a) \operatorname{sec} ^{2} x<\operatorname{sec} x
b) \operatorname{sec} ^{2} x \leqslant \operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, as inequações trigonométricas envolvendo \operatorname{sec} x:
a) \operatorname{sec}^2 x < \operatorname{sec} x
b) \operatorname{sec}^2 x \le \operatorname{sec} x
Vamos usar identificação de domínio, manipulação algébrica e análise de sinal.

Passo 2

O domínio de \operatorname{sec} x=\tfrac1{\cos x} é dado por \cos x\neq0, isto é,
x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Além disso, como \operatorname{sec} x=\frac1{\cos x}, temos
\operatorname{sec} x\in(-\infty,-1]\;\cup\;[1,\infty).

Passo 3

Para a parte (a), começamos por escrever
\operatorname{sec}^2 x < \operatorname{sec} x\nequivalente a
\operatorname{sec} x\,(\operatorname{sec} x - 1) < 0.
Mas \operatorname{sec} x só pode ficar em (-\infty,-1]\cup[1,\infty), logo nunca atinge valores em (0,1). Portanto não há x que satisfaça essa desigualdade.

Passo 4

Para a parte (b), seguimos de forma similar:
\operatorname{sec}^2 x \le \operatorname{sec} x
é equivalente a
\operatorname{sec} x\,(\operatorname{sec} x - 1) \le 0.
Isto exprime \operatorname{sec} x\in[0,1]. Intersectando com o alcance (-\infty,-1]\cup[1,\infty), resta
\operatorname{sec} x = 1,
ou seja \cos x = 1.

Passo 5

Resolve-se \cos x = 1 em \mathbb{R}:
x = 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

a) \varnothing
b) x = 2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}

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