calcular los momentos de inercia indicados
De un rectángulo de base a y altura b, respecto del lado a.

Passo 1

O problema pede: calcular o momento de inércia (segundo momento de área) de um retângulo de base a e altura b em relação ao lado de comprimento a.
Informações dadas:
  • Base: \,a.\
  • Altura: \,b.\
  • O eixo em relação ao qual se quer o momento de inércia é o eixo que coincide com o lado de comprimento \,a (isto é, um eixo retilíneo ao longo da base, passando pela aresta inferior do retângulo).

Passo 2

Definindo sistema de coordenadas e o que vamos calcular. Coloco a aresta sobre o eixo x: seja o ponto (0,0) o canto inferior esquerdo do retângulo, o eixo x indo de 0 a a ao longo da base e o eixo y indo de 0 a b para cima. O momento de inércia da área em relação ao eixo que coincide com a base (eixo x em y=0) é, por definição,
I=\iint_A y^2\,\mathrm{d}A.
Aqui:
  • \,y é a distância de um elemento de área até o eixo (o quadrado aparece porque é o segundo momento),
  • \mathrm{d}A é um elemento de área do retângulo.

Passo 3

Escrever o elemento de área e montar a integral dupla. Usando coordenadas retangulares, um elemento de área pode ser \mathrm{d}A=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. Como x varia de 0 a a e y varia de 0 a b, temos
I=\int_{x=0}^{a}\int_{y=0}^{b} y^2\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Primeiro integramos y^2 em relação a y:
\int_{0}^{b} y^2\,\mathrm{d}y=\left[\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{b}=\frac{b^3}{3}.

Passo 5

Agora integramos em x. A integral em x simplesmente multiplica pelo comprimento a:
I=\int_{0}^{a} \frac{b^3}{3}\,\mathrm{d}x = \frac{b^3}{3}\left[x\right]_{0}^{a}=\frac{b^3}{3}\,a.
Portanto
I=\frac{1}{3}\,a\,b^{3}.

Passo 6

Comentário didático extra (método alternativo e checagem rápida). Alternativamente pode-se usar o momento de inércia em torno do eixo centróide horizontal \,I_{x,\text{centro}}=\tfrac{1}{12}a b^{3} e aplicar o teorema dos eixos paralelos (distância d=b/2, área A=ab):
I=I_{x,\text{centro}}+A d^{2}=\frac{1}{12}a b^{3}+ab\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{4}\right)ab^{3}=\frac{1}{3}ab^{3},
o que confirma o resultado acima. Uma rápida verificação dimensional: \,[I]=\text{(comprimento)}^{4}, e \tfrac{1}{3}ab^{3} tem essa dimensão — bom sinal.

Resposta

\displaystyle I=\frac{1}{3}\,a\,b^{3}

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