calcular los momentos de inercia indicados
De un rectángulo de base
y altura
, respecto del lado
.
De un rectángulo de base
Passo 1
O problema pede: calcular o momento de inércia (segundo momento de área) de um retângulo de base
e altura
em relação ao lado de comprimento
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Base:
.\ - Altura:
.\ - O eixo em relação ao qual se quer o momento de inércia é o eixo que coincide com o lado de comprimento
(isto é, um eixo retilíneo ao longo da base, passando pela aresta inferior do retângulo).
Passo 2
Definindo sistema de coordenadas e o que vamos calcular. Coloco a aresta sobre o eixo
: seja o ponto
o canto inferior esquerdo do retângulo, o eixo
indo de
a
ao longo da base e o eixo
indo de
a
para cima. O momento de inércia da área em relação ao eixo que coincide com a base (eixo
em
) é, por definição,
Aqui:
-
é a distância de um elemento de área até o eixo (o quadrado aparece porque é o segundo momento), -
é um elemento de área do retângulo.
Passo 3
Escrever o elemento de área e montar a integral dupla. Usando coordenadas retangulares, um elemento de área pode ser
. Como
varia de
a
e
varia de
a
, temos
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Primeiro integramos
em relação a
:
Passo 5
Agora integramos em
. A integral em
simplesmente multiplica pelo comprimento
:
Portanto
Passo 6
Comentário didático extra (método alternativo e checagem rápida). Alternativamente pode-se usar o momento de inércia em torno do eixo centróide horizontal
e aplicar o teorema dos eixos paralelos (distância
, área
):
o que confirma o resultado acima. Uma rápida verificação dimensional:
, e
tem essa dimensão — bom sinal.