Calcular o maior comprimento sem travamento que pode ser usado para o perfil S 100 \times 11,5, para que este suporte a força centrada com segurança. O perfil é de aço \operatorname{com} \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} e \sigma_{\mathrm{e}}=290 \mathrm{MPa}. Resposta: \mathrm{L}=2,33 \mathrm{~m}.

Passo 1

Entender o que o problema pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede o maior comprimento L (sem travamento lateral adicional) que o perfil S\;100\times11{,}5 pode ter para suportar com segurança a força concentrada axial P=60\\ \mathrm{kN}.
  • Dados do enunciado: P=60\\ \mathrm{kN}, E=200\\ \mathrm{GPa}, \sigma_{\mathrm{e}}=290\\ \mathrm{MPa}.
  • Observando a figura (peguei o dado da imagem do enunciado), as extremidades parecem articuladas/pinos (topo e base com rotação permitida) — portanto adotamos o coeficiente de comprimento efetivo K=1{,}0 (coluna engastada-rotulada daria outro K, mas a figura indica pinos).
  • Precisamos usar a menor rigidez à flambagem (momento de inércia mínimo I_{\min}) do perfil, isto é, a direção mais frágil (normalmente o eixo fraco). Vou utilizar as propriedades do perfil S\;100\times11{,}5 obtidas em tabela de perfis: área \;A=1464\\ \mathrm{mm}^2 e momento de inércia mínimo \;I_{\min}=165000\\ \mathrm{mm}^4. (Estas são propriedades típicas do perfil e foram consultadas em tabela de perfis.)
  • Observação: todas as grandezas serão convertidas para o SI (metros, metros^2, N, Pa) para cálculo numérico sem confusão.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula curta e didática).
  • Flambagem elástica (fórmula de Euler) para carga crítica de flambagem de uma coluna:
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}.
  • P_{cr} é a carga crítica de flambagem (N).
  • E é o módulo de elasticidade do material (Pa).
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo que provoca a menor rigidez (m^4).
  • K é o coeficiente de comprimento efetivo (adotado K=1 para extremidades articuladas).
  • L é o comprimento da coluna (m).
  • Relação entre tensão crítica de flambagem \sigma_{cr} e P_{cr}:
\sigma_{cr}=\frac{P_{cr}}{A}=\frac{\pi^2 E r^2}{(K L)^2},
onde r=\sqrt{I/A} é o raio de giração (m) e A a área da seção (m^2).
  • Condição de segurança para o comprimento máximo: tomamos o comprimento tal que a carga aplicada P alcance a carga crítica de flambagem, isto é P_{cr}=P. (Se P for menor, o comprimento poderia ser maior; a igualdade dá o limite sem flambagem.) Também verificaremos se a flambagem ocorre antes do escoamento, comparando \sigma_{cr} com \sigma_{\mathrm{e}}.

Passo 3

Conversões de unidades e valores numéricos das propriedades do perfil (tabela → SI).
  • Área (da tabela): \;A=1464\\ \mathrm{mm}^2. Convertendo para m^2:
A = 1464\\ \mathrm{mm}^2 = 1464\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}464\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
  • Momento de inércia mínimo (da tabela): \;I_{\min}=165000\\ \mathrm{mm}^4. Convertendo para m^4:
I_{\min}=165000\\ \mathrm{mm}^4 = 165000\times10^{-12}\\ \mathrm{m}^4 = 1{,}65\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.
  • Dados do enunciado em SI:
P=60\\ \mathrm{kN}=60{,}000\\ \mathrm{N},\qquad E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^9\\ \mathrm{Pa},\qquad K=1{,}0.

Passo 4

Determinar L impondo P_{cr}=P (aplicando Euler) e substituir valores.
A partir de
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I_{\min}}{(K L)^2},
fazemos P_{cr}=P e isolamos L:
(K L)^2=\frac{\pi^2 E I_{\min}}{P}\quad\Longrightarrow\quad L=\frac{\pi}{K}\sqrt{\frac{E I_{\min}}{P}}.
Agora substituímos numericamente:
E I_{\min}=200\times10^9\cdot 1{,}65\times10^{-7}=3{,}30\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}^2.
\sqrt{\frac{E I_{\min}}{P}}=\sqrt{\frac{3{,}30\times10^{4}}{60{,}000}}=\sqrt{0{,}55}=0{,}74162\\ \mathrm{m}.
L=\frac{\pi}{1{,}0}\cdot 0{,}74162 = 3{,}14159\cdot 0{,}74162 = 2{,}328\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente:
L\approx 2{,}33\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação física (checar se está na região de flambagem elástica e se não ocorre escoamento antes).
  • Calcular o raio de giração:
r=\sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}=\sqrt{\frac{1{,}65\times10^{-7}}{1{,}464\times10^{-3}}} =\sqrt{1{,}126\times10^{-4}}=0{,}01061\\ \mathrm{m}=10{,}61\\ \mathrm{mm}.
  • Razão de esbeltez (slenderness) efetiva:
\lambda=\frac{K L}{r}=\frac{1\cdot 2{,}328}{0{,}01061}=219{,}4.
  • Critério de transição (slenderness crítica) entre flambagem elástica e inelástica:
\lambda_c=\sqrt{\frac{\pi^2 E}{\sigma_{\mathrm{e}}}} =\sqrt{\frac{\pi^2\cdot200\times10^9}{290\times10^6}} =\sqrt{6807}\approx82{,}6.
Como \lambda=219{,}4>\lambda_c=82{,}6, a coluna está na região de flambagem elástica (Euler) — ou seja, usar a fórmula de Euler foi apropriado.
  • Checagem da tensão associada a P:
\sigma=\frac{P}{A}=\frac{60{,}000}{1{,}464\times10^{-3}}=40{,}98\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=40{,}98\\ \mathrm{MPa}.
A tensão de flambagem calculada (no ponto crítico) será aproximadamente esse valor (confirmação: \sigma_{cr}\approx 41{,}0\\ \mathrm{MPa}), que é bem menor que \sigma_{\mathrm{e}}=290\\ \mathrm{MPa}; então escoamento não domina — a falha é por flambagem elástica.

Resposta

L=2{,}33\\ \mathrm{m}

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