Dado os três vetores, determine:
\begin{aligned} \vec{A} & =4 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+2 \hat{k} \\\ \vec{B} & =-2 \hat{\imath}-5 \hat{\jmath}+\hat{k} \\\ \vec{C} & =7 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-\hat{k} \end{aligned}
a) A \times B
b) \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
c) \mathrm{C} \cdot(\mathrm{A} \times \mathrm{B})

Passo 1

O enunciado dá os três vetores e pede três coisas. Vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido, para não nos perdermos:
Dados:
\vec{A}=4\hat{\imath}-3\hat{\jmath}+2\hat{k}, \qquad \vec{B}=-2\hat{\imath}-5\hat{\jmath}+\hat{k}, \qquad \vec{C}=7\hat{\imath}+\hat{\jmath}-\hat{k}.
Perguntas:
a) Calcular \vec{A}\times\vec{B}.
b) Calcular \vec{A}\cdot\vec{B}.
c) Calcular \vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}).

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): calcular \vec{A}\times\vec{B}. Primeiro, lembro a forma prática para calcular o produto vetorial usando determinante com a base \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}. Escrevo o determinante que representa \vec{A}\times\vec{B}:
\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\\ 4 & -3 & 2 \\\\ -2 & -5 & 1 \end{vmatrix}.
Esse determinante é apenas uma maneira organizada de lembrar as fórmulas dos componentes. Vou explicar a fórmula dos componentes explicitamente para você entender e poder usar na prova:
Se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), então
\vec{A}\times\vec{B}=\bigl(A_yB_z-A_zB_y\bigr)\hat{\imath} -\bigl(A_xB_z-A_zB_x\bigr)\hat{\jmath} +\bigl(A_xB_y-A_yB_x\bigr)\hat{k}.
Aqui A_x,A_y,A_z são as componentes do vetor \vec{A} nas direções \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} respectivamente, e o mesmo para B_x,B_y,B_z.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com os números dados. As componentes são
A_x=4,\; A_y=-3,\; A_z=2;\qquad B_x=-2,\; B_y=-5,\; B_z=1.
Calculo cada componente do produto vetorial passo a passo.
Componente \hat{\imath}:
A_yB_z-A_zB_y = (-3)\cdot 1 - 2\cdot(-5) = -3 + 10 = 7.
Componente \hat{\jmath} (atenção ao sinal negativo da fórmula):
A_xB_z-A_zB_x = 4\cdot 1 - 2\cdot(-2) = 4 + 4 = 8,
portanto o termo associado a \hat{\jmath} é -8\hat{\jmath}.
Componente \hat{k}:
A_xB_y-A_yB_x = 4\cdot(-5) - (-3)\cdot(-2) = -20 - 6 = -26.
Juntando:
\vec{A}\times\vec{B}=7\hat{\imath}-8\hat{\jmath}-26\hat{k}.

Passo 4

Como checagem útil (sempre bom na prova), um produto vetorial deve ser orthogonal aos dois vetores envolvidos. Posso verificar rapidamente que \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=0 e \vec{B}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=0. Faço uma verificação rápida com contas fáceis:
\vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=4\cdot 7 + (-3)\cdot(-8) + 2\cdot(-26) =28 + 24 - 52 = 0.
\vec{B}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) = (-2)\cdot 7 + (-5)\cdot(-8) + 1\cdot(-26) = -14 + 40 - 26 = 0.
As duas somas dão 0, então a resposta de \vec{A}\times\vec{B} está consistente.

Passo 5

Agora a parte (b): calcular \vec{A}\cdot\vec{B}. Vou explicar o conceito e a fórmula antes de calcular. O produto escalar entre dois vetores \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z) é
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Geometricamente, \vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores; mas para cálculo direto usamos a soma dos produtos das componentes.

Passo 6

Aplico a fórmula com nossos números:
\vec{A}\cdot\vec{B}=4\cdot(-2) + (-3)\cdot(-5) + 2\cdot 1 = -8 + 15 + 2 = 9.
Portanto o produto escalar é \;9.

Passo 7

Finalmente a parte (c): calcular \vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}). Esse é o produto escalar entre \vec{C} e o vetor já encontrado \vec{A}\times\vec{B}. Antes de calcular, explico o significado: \vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) é o produto misto (ou triplo escalar) e dá o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{A},\vec{B},\vec{C}. Também existe uma forma direta: esse número é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{A},\vec{B},\vec{C}.
Eu já tenho \vec{A}\times\vec{B}=7\hat{\imath}-8\hat{\jmath}-26\hat{k}. Então calculo o produto escalar com \vec{C}, cujas componentes são C_x=7,\;C_y=1,\;C_z=-1:
\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) = 7\cdot 7 + 1\cdot(-8) + (-1)\cdot(-26) = 49 - 8 + 26 = 67.
Como verificação alternativa (útil na prova), posso calcular o mesmo valor como determinante:
\det\begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 \\\\ -2 & -5 & 1 \\\\ 7 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão (mostro rapidamente):
4\cdot\det\begin{pmatrix}-5 & 1 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ 7 & -1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -5 \\\\ 7 & 1\end{pmatrix}
=4(5-1)+3( -2\cdot(-1)-1\cdot 7)+2(-2\cdot 1 - (-5)\cdot 7)
=4\cdot 4 + 3(-5) + 2( -2 +35 ) =16 -15 +66 =67,
confirmando o resultado.

Resposta

\vec{A}\times\vec{B}=7\hat{\imath}-8\hat{\jmath}-26\hat{k}
\vec{A}\cdot\vec{B}=9
\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=67

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