Perguntas:
a) Calcular \vec{A}\times\vec{B}.
b) Calcular \vec{A}\cdot\vec{B}.
c) Calcular \vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}).
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): calcular \vec{A}\times\vec{B}. Primeiro, lembro a forma prática para calcular o produto vetorial usando determinante com a base \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}. Escrevo o determinante que representa \vec{A}\times\vec{B}:
Esse determinante é apenas uma maneira organizada de lembrar as fórmulas dos componentes. Vou explicar a fórmula dos componentes explicitamente para você entender e poder usar na prova:
Se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), então
Como checagem útil (sempre bom na prova), um produto vetorial deve ser orthogonal aos dois vetores envolvidos. Posso verificar rapidamente que \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=0 e \vec{B}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=0. Faço uma verificação rápida com contas fáceis:
As duas somas dão 0, então a resposta de \vec{A}\times\vec{B} está consistente.
Passo 5
Agora a parte (b): calcular \vec{A}\cdot\vec{B}. Vou explicar o conceito e a fórmula antes de calcular. O produto escalar entre dois vetores \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z) é
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Geometricamente, \vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores; mas para cálculo direto usamos a soma dos produtos das componentes.
Finalmente a parte (c): calcular \vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}). Esse é o produto escalar entre \vec{C} e o vetor já encontrado \vec{A}\times\vec{B}. Antes de calcular, explico o significado: \vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) é o produto misto (ou triplo escalar) e dá o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{A},\vec{B},\vec{C}. Também existe uma forma direta: esse número é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{A},\vec{B},\vec{C}.
Eu já tenho \vec{A}\times\vec{B}=7\hat{\imath}-8\hat{\jmath}-26\hat{k}. Então calculo o produto escalar com \vec{C}, cujas componentes são C_x=7,\;C_y=1,\;C_z=-1: