1.8* (a) Use a definição (1.7) para mostrar que o produto escalar é distributivo, isto é,
. (b) Se res são vetores que dependem do tempo, mostre que a regra do produto para derivação de produtos se aplica a
, ou seja, que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
(a) Mostrar, usando a definição (1.7) do produto escalar, que o produto escalar é distributivo, isto é,
(b) Supondo que
e
são vetores que dependem do tempo
, mostrar que a regra do produto para derivadas vale para o produto escalar, isto é,
Informações dadas (implícitas na definição 1.7): o produto escalar é definido componente a componente. Podemos escrever os vetores em componentes (vou usar 3 componentes por clareza, mas o argumento vale para
componentes):
e, para a parte (b),
Passo 2
Lembrando a definição componente a componente do produto escalar (definição 1.7): para dois vetores
e
tem-se
Aqui cada
e
é um número real; usamos as propriedades usuais dos números reais (associatividade, comutatividade e, especialmente, distributividade da multiplicação sobre a adição). Vou aplicar essa definição passo a passo para provar (a).
Passo 3
Calcule
componente a componente. Primeiro escrevemos
:
Agora aplicamos a definição do produto escalar:
Usando a distributividade dos números reais (ou seja,
para cada
), obtemos
Agrupando os termos correspondentes:
Pelo lado direito da definição isso é exatamente
Portanto a distributividade está demonstrada.
Comentário didático rápido: o que fizemos foi usar que o produto escalar é só uma soma de produtos escalares entre componentes; como a multiplicação real distribui sobre a soma, a propriedade segue automaticamente. Isso vale em qualquer dimensão
: a contagem só tem mais termos.
Passo 4
Agora a parte (b): mostrar a regra do produto para derivada do produto escalar. Escrevemos os vetores dependentes do tempo em componentes:
O produto escalar é
Queremos diferenciar em relação a
. Usamos duas propriedades de derivadas de funções reais: (i) a derivada é linear (a derivada de soma é soma das derivadas), e (ii) a regra do produto para funções reais, que diz
. Aplicando primeiro a linearidade:
Agora aplicamos a regra do produto a cada termo
. Assim
Reagrupando os termos que têm derivadas de
e os que têm derivadas de
,
Pelo significado de produto escalar isso é
Note que troquei a ordem dos termos no final para coincidir com a forma pedida; como a soma é comutativa, a forma dada no enunciado
é equivalente ao que acabamos de obter.
Comentário didático: a prova é peça por peça: o produto escalar vira soma de produtos escalares entre componentes (escalares), para cada um aplicamos a regra do produto de funções reais, e depois somamos. Não usamos propriedades vetoriais avançadas além da definição componente a componente e regras usuais de cálculo.
Passo 5
Um exemplo numérico rápido para fixar: seja
e
. Então
Diferenciando diretamente:
Agora calcule os termos da regra do produto:
Então
Somando:
que coincide com a derivada direta. Isso ajuda a ver que a identidade funciona na prática.
Resposta
(a)
.\n(b)
.