Calcular a matriz inversa das matrizes dadas.
\boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 0 \\\\ -1 & -1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz triangular inferior
\boldsymbol{E} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ -1 & -1 & 0\\\\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Vamos usar o método de resolver \boldsymbol{E}\,\boldsymbol{X} = \boldsymbol{I}, procurando a matriz \boldsymbol{X} = \boldsymbol{E}^{-1}.

Passo 2

Seja
\boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}.
Impondo \boldsymbol{E}\,\boldsymbol{X} = \boldsymbol{I}, obtemos três sistemas, um para cada coluna de \boldsymbol{X}. Cada sistema é linear e dado pelas linhas de \boldsymbol{E}.

Passo 3

Para a primeira coluna de \boldsymbol{I}\), \(\boldsymbol{E}\,(a,d,g)^{T} = (1,0,0)^{T}\): \[\begin{cases} -1\cdot a = 1,\\\\ -1\cdot a \;+\;-1\cdot d = 0,\\\\ -1\cdot a \;+\;-1\cdot d\;+\;-1\cdot g = 0. \end{cases}
Da primeira equação a=-1\]. Substituindo na segunda, \(1 - d=0 d=1. Na terceira, 1 -1 - g=0 g=0.

Passo 4

Para a segunda coluna de \boldsymbol{I}\), \(\boldsymbol{E}\,(b,e,h)^{T} = (0,1,0)^{T}\): \[\begin{cases} -1\cdot b = 0,\\\\ -1\cdot b \;+\;-1\cdot e = 1,\\\\ -1\cdot b \;+\;-1\cdot e\;+\;-1\cdot h = 0. \end{cases}
Da primeira equação b=0\]. Então a segunda dá \(-e=1 ou e=-1. A terceira dá 0 +1 - h=0 resultando em h=1.

Passo 5

Para a terceira coluna de \boldsymbol{I}\), \(\boldsymbol{E}\,(c,f,i)^{T} = (0,0,1)^{T}\): \[\begin{cases} -1\cdot c = 0,\\\\ -1\cdot c \;+\;-1\cdot f = 0,\\\\ -1\cdot c \;+\;-1\cdot f\;+\;-1\cdot i = 1. \end{cases}
Da primeira equação c=0\]. Da segunda, \(-f=0 implica f=0. Da terceira, 0+0 - i=1 i=-1.

Resposta

\boldsymbol{E}^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

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