Calcular o valor de \boldsymbol{k} para que a matriz \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{2} & \mathbf{3} \\\ \mathbf{6} & \boldsymbol{k}\end{array}\right] não tenha inversa.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a matriz
\boldsymbol A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ 6 & k\end{pmatrix}
e precisamos encontrar o valor de k para que \boldsymbol A não tenha inversa. O conteúdo que vamos usar é a definição de determinante de matriz 2\times2 e a condição de singularidade (não invertibilidade).
Passo 2
Lembrando que, para uma matriz genérica
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det = ad - bc,
e a matriz é invertível se, e somente se, \det \neq 0. Se \det = 0, a matriz é singular (não tem inversa).
Passo 3
No nosso caso, identificamos a=2, b=3, c=6 e d=k. Portanto o determinante de \boldsymbol A é
\det(\boldsymbol A) = 2\cdot k \;-\; 3\cdot 6 = 2k - 18.
Passo 4
Para que \boldsymbol A não tenha inversa, exigimos
\det(\boldsymbol A) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2k - 18 = 0.