Calcular a matriz inversa das matrizes dadas.
C=\left[\begin{array}{rrr}-4 & 0 & 10 \\\\ -2 & -4 & -4 \\\\ 2 & -2 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
C = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 10\\\\ -2 & -4 & -4\\\\ 2 & -2 & 6 \end{pmatrix}
O conteúdo é “inversão de matriz 3\times3” e vamos usar a fórmula
C^{-1} \;=\;\frac{1}{\det\text{(C)}}\,\mathrm{adj}\text{(C)},
onde \det\text{(C)} é o determinante de C e \mathrm{adj}\text{(C)} é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Passo 2

Calculemos primeiro \det\text{(C)} expandindo pela primeira linha:
\det\text{(C)} = -4\det\!\begin{pmatrix}-4 & -4\\[-4pt]-2 & 6\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots) +10\det\!\begin{pmatrix}-2 & -4\\[3pt]2 & -2\end{pmatrix}.
Agora,
\det\!\begin{pmatrix}-4 & -4\\[-4pt]-2 & 6\end{pmatrix} =(-4)\cdot6 - (-4)\cdot(-2) =-24 - 8 = -32,
\det\!\begin{pmatrix}-2 & -4\\[3pt]2 & -2\end{pmatrix} =(-2)\cdot(-2) - (-4)\cdot2 =4 - (-8) = 12.
Logo
\det\text{(C)}= -4\cdot(-32) + 10\cdot12 =128 + 120 = 248.]

Passo 3

Agora calculamos a matriz de cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor de C eliminado a linha i e a coluna j. O resultado é
\bigl[C_{ij}\bigr] =\begin{pmatrix} -32 & 4 & 12\\\\ -20 & -44 & -8\\\\ 40 & -36 & 16 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de C é a transposta da matriz de cofatores:
\mathrm{adj}\text{(C)} =\bigl[C_{ji}\bigr] =\begin{pmatrix} -32 & -20 & 40\\\\ 4 & -44 & -36\\\\ 12 & -8 & 16 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente
C^{-1} =\frac{1}{\det\text{(C)}}\,\mathrm{adj}\text{(C)} =\frac{1}{248} \begin{pmatrix} -32 & -20 & 40\\\\ 4 & -44 & -36\\\\ 12 & -8 & 16 \end{pmatrix}.
Como todos os coeficientes são múltiplos de 4, podemos simplificar \tfrac{1}{248}\times4=\tfrac{1}{62}, obtendo
C^{-1} =\frac{1}{62} \begin{pmatrix} -8 & -5 & 10\\\\ 1 & -11 & -9\\\\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}.

Resposta

C^{-1} =\frac{1}{62} \begin{pmatrix} -8 & -5 & 10\\\\ 1 & -11 & -9\\\\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}.

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