Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas: \left\{\begin{array}{l}x-y=1 \\\\ 2 x+y=5\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}m x-n y=-1 \\\ n x+m y=2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: "Calcular m\) e \(n\) de modo que sejam equivalentes os sistemas"
\[\begin{cases} x-y=1\\[4pt] 2x+y=5 \end{cases}
e
\begin{cases} m x - n y = -1\\[4pt] n x + m y = 2 \end{cases}
Informações relevantes dadas:
Temos duas equações em x\] e \(y no primeiro sistema.
Temos duas equações em x e y no segundo sistema, envolvendo os parâmetros m e n.
A tarefa é encontrar valores de m e n para que os dois sistemas sejam equivalentes (isto é, tenham o mesmo conjunto de soluções).]
Passo 2
Explicação do que significa “sistemas equivalentes” (curtinha e útil): dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem exatamente o mesmo conjunto de soluções. Aqui o primeiro sistema é um sistema 2\times2; se ele tiver solução única, então para a equivalência o segundo sistema precisa ter essa mesma solução única. Então a estratégia prática é:
Resolver o primeiro sistema para achar (x,y).
Exigir que esse par resolva também o segundo sistema; assim obtemos equações para m e n.
Verificar que o segundo sistema com esses m,n tem determinante não nulo (garante solução única), confirmando a equivalência.
Passo 3
Resolver o primeiro sistema passo a passo. Temos
\begin{cases} x-y=1\\[4pt] 2x+y=5 \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar y:
(x-y) + (2x+y) = 1 + 5.
No lado esquerdo, -y e +y se cancelam, sobrando 3x. No lado direito, 1+5=6. Logo
3x = 6.
Dividindo por 3:
x = 2.
Agora, substituir x=2 em x-y=1:
2 - y = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = 2-1 = 1.
Portanto a solução do primeiro sistema é o par (x,y)=(2,1). Como obtivemos um único par, o sistema inicial tem solução única.]
Passo 4
Aplicar a condição de equivalência: o segundo sistema deve ser satisfeito por (x,y)=(2,1). Substituindo x=2 e y=1 em cada equação do segundo sistema temos duas equações em m e n.
Primeira equação do segundo sistema:
m x - n y = -1 \quad\Longrightarrow\quad m\cdot 2 - n\cdot 1 = -1,
ou seja
2m - n = -1.
Segunda equação do segundo sistema:
n x + m y = 2 \quad\Longrightarrow\quad n\cdot 2 + m\cdot 1 = 2,
ou seja
2n + m = 2.
Agora temos o sistema linear em m,n:
\begin{cases} 2m - n = -1\\[4pt] m + 2n = 2 \end{cases}]
Passo 5
Resolver o sistema para m e n. Vou isolar m na segunda equação:
m = 2 - 2n.
Substituir essa expressão na primeira equação 2m - n = -1:
Verificações finais (importantes para garantir que realmente são equivalentes):
Substituir m=0 e n=1 no segundo sistema e checar que (2,1) satisfaz ambas as equações:
0\cdot 2 - 1\cdot 1 = -1 \quad\checkmark,
1\cdot 2 + 0\cdot 1 = 2 \quad\checkmark.
Verificar que o segundo sistema tem solução única quando m=0,n=1. O determinante da matriz dos coeficientes do segundo sistema é
\det = \begin{vmatrix} m & -n \\[4pt] n & m \end{vmatrix} = m^2 + n^2.
Para m=0,n=1 obtemos \det = 0^2 + 1^2 = 1 \neq 0. Determinante não nulo garante solução única. Como ambos os sistemas têm a mesma única solução (2,1), eles são equivalentes.]