Calcular o \overline{M_{n}}, \overline{M_{w}}, \overline{M_{z}} e o índice de polidispersividade de um polímero que apresentam o seguinte resultado de fracionamento:
Fração Wi (g) Mi (g/mol)
1 1000 1000
2 1000 10000
3 1000 100000
4 1000 1000000

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \overline{M_{n}}, \overline{M_{w}}, \overline{M_{z}} e o índice de polidispersidade (Đ) a partir do resultado de fracionamento dado na tabela. Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede:
Dado (peguei os valores da tabela):
\begin{array}{c|c|c} \text{Fração} & W_i\\ (\text{g}) & M_i\\ (\text{g/mol})\\hline 1 & 1000 & 1000\\\\ 2 & 1000 & 10000\\\\ 3 & 1000 & 100000\\\\ 4 & 1000 & 1000000 \end{array}çã
O que é pedido:
  • \overline{M_{n}} (massa molar média numérica),
  • \overline{M_{w}} (massa molar média em peso),
  • \overline{M_{z}} (massa molar média em z),
  • índice de polidispersidade \mathrm{Đ}=\dfrac{\overline{M_{w}}}{\overline{M_{n}}}Đ.

Passo 2

Primeiro preciso transformar as massas das frações em número de mols de cada fração. Para cada fração:
N_i=\frac{W_i}{M_i}.
Calculo cada N_i (lembre que os dados vêm da tabela):
N_1=\frac{1000}{1000}=1,\quad N_2=\frac{1000}{10000}=0,1,
N_3=\frac{1000}{100000}=0,01,\quad N_4=\frac{1000}{1000000}=0,001.
Soma dos mols:
\sum_i N_i=1+0,1+0,01+0,001=1,111.
Soma das massas totais:
\sum_i W_i=1000+1000+1000+1000=4000\\ \text{g}.

Passo 3

Definição e cálculo de \overline{M_{n}}.
Conceito: \overline{M_{n}} é a média de massa por molécula (média aritmética ponderada pelo número de moléculas). Uma forma prática de calcular é
\overline{M_{n}}=\frac{\sum_i W_i}{\sum_i N_i},
onde \sum_i W_i é a massa total e \sum_i N_i o número total de mols.
Aplicando aos valores:
\overline{M_{n}}=\frac{4000}{1,111}.
Agora a divisão:
\overline{M_{n}} \approx 3600,36\\ \text{g/mol}.
Breve explicação didática: isso significa que, em média, cada molécula (contando todas as moléculas igualmente) corresponde a aproximadamente 3600,36\\ \text{g/mol}. Note que frações com muitas moléculas de baixa massa puxam essa média para baixo.

Passo 4

Definição e cálculo de \overline{M_{w}}.
Conceito: \overline{M_{w}} é a média ponderada pelo peso (frações mais massivas contribuem mais). Fórmula usando frações em massa w_i=\dfrac{W_i}{\sum W_i} é
\overline{M_{w}}=\sum_i w_i M_i=\frac{\sum_i W_i M_i}{\sum_i W_i}.
Cálculo passo a passo (uso os W_i e M_i da tabela):
\sum_i W_i M_i = 1000\cdot 1000 + 1000\cdot 10000 + 1000\cdot 100000 + 1000\cdot 1000000
=1\,000\,000 + 10\,000\,000 + 100\,000\,000 + 1\,000\,000\,000 =1\,111\,000\,000.
Dividindo pela massa total:
\overline{M_{w}}=\frac{1\,111\,000\,000}{4000}=277\,750\\ \text{g/mol}.
Explicação simples: aqui as frações com maiores massas molares têm muito mais peso porque cada grama dessas frações carrega moléculas muito maiores.

Passo 5

Definição e cálculo de \overline{M_{z}}.
Conceito: a média z dá ainda mais ênfase às moléculas maiores; pode ser expressa como
\overline{M_{z}}=\frac{\sum_i w_i M_i^2}{\sum_i w_i M_i},
onde w_i são as frações em massa. Como neste problema todas as W_i são iguais, os w_i são todos iguais e o fator comum cai da razão; portanto posso usar
\overline{M_{z}}=\frac{\sum_i M_i^2}{\sum_i M_i}.
Calculo dos termos:
\sum_i M_i = 1000 + 10000 + 100000 + 1000000 = 1\,111\,000.
\sum_i M_i^2 = 1000^2 + 10000^2 + 100000^2 + 1000000^2
=1\times 10^{6} + 1\times 10^{8} + 1\times 10^{10} + 1\times 10^{12}=1\,010\,101\,000\,000.
Agora a razão:
\overline{M_{z}}=\frac{1\,010\,101\,000\,000}{1\,111\,000}\approx 909\,181,82\\ \text{g/mol}.
Interpretação: \overline{M_{z}} é muito maior que \overline{M_{w}} e \overline{M_{n}} porque dá peso extra às moléculas muito grandes (a massa elevada ao quadrado aparece).

Passo 6

Cálculo do índice de polidispersidade (Đ) e interpretação rápida.
Definição:
\mathrm{Đ}=\frac{\overline{M_{w}}}{\overline{M_{n}}}.Đ
Substituindo os valores encontrados:
\mathrm{Đ}=\frac{277\,750}{3600,36}\approx 77,145.Đ
Interpretação didática curta: Đ mede quão ampla é a distribuição de massas molares. Valores próximos de 1 indicam polímeros quase monodispersos; aqui \mathrm{Đ}\approx 77Đ é muito grande, ou seja, a mistura tem uma dispersão de massas extremamente ampla (muitas moléculas muito pequenas e algumas muito grandes).

Resposta

\overline{M_{n}} \approx 3600,36\\ \text{g/mol}\n
\overline{M_{w}} = 277750\\ \text{g/mol}\n
\overline{M_{z}} \approx 909181,82\\ \text{g/mol}\n
\mathrm{Đ} \approx 77,145Đ

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