Obtenha uma estimativa do grau de polimerização, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}, quando excesso acima do valor está presente numa policondensação:
(a) 1 porcento molar
(b) 2 porcentos molar
Considere: x_{n}=\frac{(1+r)}{(1+r-2 r p)}
\mathrm{r}= razão molar entre as moléculas (grupos) reagentes ( 0<\mathrm{r}<1 )
\mathrm{p}= conversão da reação ( \mathrm{p}=1 para 100 \% de conversão)
Mostre como estes resultados afetam a massa molar do PET. (valores de massa atômica: \mathrm{C}=12 ; \mathrm{H}=1 ; \mathrm{O}=16 )

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular uma estimativa do grau de polimerização x_{n} quando há excesso estequiométrico de um dos reagentes em uma policondensação, para dois casos:
    (a) excesso de 1\% molar,
    (b) excesso de 2\% molar.
  • Mostrar como esses valores de x_{n} afetam a massa molar do PET, usando as massas atômicas \mathrm{C}=12, \mathrm{H}=1, \mathrm{O}=16.
Informações dadas:
  • Fórmula para x_{n}: x_{n}=\frac{(1+r)}{(1+r-2 r p)}
  • \;r = razão molar entre as moléculas (grupos) reagentes, com 0<r<1 (ou seja, um reagente em deficiência).
  • \;p = conversão da reação, com p=1 para 100\% de conversão.
  • Vamos assumir conversão completa (p=1) quando necessário, conforme indicado no enunciado.
  • PET: devemos calcular a massa molar do repeat unit (unidade repetitiva) e então o M_{n} aproximado usando M_{n}=x_{n}\cdot M_{0}.

Passo 2

Entendendo a fórmula e simplificando para conversão completa:
  • A expressão de x_{n} tem as variáveis r e p.
  • Para p=1 (conversão completa) substituímos em x_{n}=\frac{1+r}{1+r-2rp} e obtemos:
x_{n}=\frac{1+r}{1+r-2r}=\frac{1+r}{1-r}.
Essa é uma forma clássica: quando há pequeno excesso de um reagente ( r<1), x_{n} fica finito mesmo com p=1.

Passo 3

Relacionando o excesso percentual com r:
  • Seja e a fração do excesso (por exemplo, 1\%\Rightarrow e=0{,}01; 2\%\Rightarrow e=0{,}02).
  • Se tomarmos 1 mol do reagente limitante e 1+e mol do reagente em excesso, então a razão r (limitante/excesso) é
r=\frac{1}{1+e}.
  • Vamos usar essa relação para calcular r em cada caso.

Passo 4

Expressão de x_{n} em função do excesso e:
  • Substituindo r=\dfrac{1}{1+e} em x_{n}=\dfrac{1+r}{1-r}:
x_{n}=\frac{1+\dfrac{1}{1+e}}{1-\dfrac{1}{1+e}}.
  • Colocando em denominador comum (1+e):
x_{n}=\frac{\dfrac{1+e+1}{1+e}}{\dfrac{1+e-1}{1+e}}=\frac{2+e}{e}.
  • Podemos também escrever
x_{n}=\frac{2+e}{e}=\frac{2}{e}+1,
o que facilita cálculo numérico para pequenos e.

Passo 5

Cálculo para o caso (a) excesso de 1\% ( e=0{,}01):
  • Usando \;x_{n}=\dfrac{2+e}{e}:
x_{n}=\frac{2+0{,}01}{0{,}01}=\frac{2{,}01}{0{,}01}=2{,}01\times 100=201.
  • Portanto, para 1\% de excesso e p=1, obtemos x_{n}=201.

Passo 6

Cálculo para o caso (b) excesso de 2\% ( e=0{,}02):
  • Novamente:
x_{n}=\frac{2+0{,}02}{0{,}02}=\frac{2{,}02}{0{,}02}=2{,}02\times 50=101.
  • Portanto, para 2\% de excesso e p=1, obtemos x_{n}=101.

Passo 7

Determinar a massa molar da unidade repetitiva (massa do monômero repetido) do PET:
  • Monômeros usados (fórmulas):
    • Ácido tereftálico (resíduo): \mathrm{C}_{8}\mathrm{H}_{6}\mathrm{O}_{4}
    • Etileno glicol (resíduo): \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}\mathrm{O}_{2}
  • Soma dos átomos antes de perder água: \mathrm{C}_{10}\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_{6}.
  • Cada unidade repetitiva, num polímero longo, resulta da união dos dois monômeros com liberação de duas moléculas de água ( 2\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}) porque a unidade fica ligada em ambos os lados por ligações éster; assim subtraímos 2\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}=\mathrm{H}_{4}\mathrm{O}_{2}:
\mathrm{C}_{10}\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_{6}-\mathrm{H}_{4}\mathrm{O}_{2}=\mathrm{C}_{10}\mathrm{H}_{8}\mathrm{O}_{4}.
  • Portanto a fórmula da unidade repetitiva do PET é \mathrm{C}_{10}\mathrm{H}_{8}\mathrm{O}_{4}.

Passo 8

Calcular a massa molar da unidade repetitiva do PET usando as massas atômicas dadas:
  • Massa molar M_{0} da unidade repetitiva:
M_{0}=10\cdot 12 + 8\cdot 1 + 4\cdot 16.
  • Calculando:
M_{0}=120+8+64=192\\ \text{g mol}^{-1}.

Passo 9

Calcular M_{n} aproximado do PET para cada caso usando M_{n}=x_{n}\cdot M_{0}:
Caso (a) x_{n}=201:
  • M_{n}=201\times 192.
  • Faço a conta em partes: 200\times 192=38\,400 e 1\times 192=192. Soma:
M_{n}=38\,400+192=38\,592\\ \text{g mol}^{-1}.
Caso (b) x_{n}=101:
  • M_{n}=101\times 192.
  • Conta: 100\times 192=19\,200 e 1\times 192=192. Soma:
M_{n}=19\,200+192=19\,392\\ \text{g mol}^{-1}.

Passo 10

Interpretação direta e dica para prova (resumo didático e prático):
  • Pequenos excessos de monômero limitam fortemente o grau de polimerização: 1\% de excesso limita x_{n} a cerca de 201 enquanto 2\% limita a cerca de 101.
  • Consequência prática: a massa molar máxima do PET é limitada proporcionalmente ao x_{n}. Com 1\% de excesso você obtém aproximadamente 3{,}86\times 10^{4}\\ \text{g mol}^{-1}; com 2\% de excesso fica cerca de 1{,}94\times 10^{4}\\ \text{g mol}^{-1}.
  • Dica rápida para prova: usar r=\dfrac{1}{1+e} e a fórmula reduzida para p=1, x_{n}=\dfrac{2+e}{e}, facilita muito os cálculos quando o excesso é dado em porcentagem.

Resposta

(a) x_{n}=201; M_{n}\approx 38\,592\\ \text{g mol}^{-1}\n(b) x_{n}=101; M_{n}\approx 19\,392\\ \text{g mol}^{-1}

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