Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int x^{7 / 3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{7/3}\,dx.
Informações dadas e relevantes:
  • A função integranda é x^{7/3}.
  • Trata-se de uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.
  • O expoente é 7/3, que não é igual a -1 (isso será importante para aplicar a regra que vamos usar).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (regra da potência para integrais). Para qualquer real n tal que n\neq -1 vale:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicando cada símbolo:
  • x é a variável de integração.
  • n é o expoente da potência.
  • C é a constante de integração, porque integrais indefinidas são definidas apenas até uma constante.
    Por que essa fórmula é válida? Podemos verificar derivando o lado direito: se
F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1},
então, aplicando a regra da derivada de potência,
F'(x)=\frac{n+1}{n+1}x^{n} = x^{n},
que é a integranda. O caso n=-1 é excluído porque aí n+1=0 e haveria divisão por zero.

Passo 3

Aplicar a fórmula com n=\tfrac{7}{3}. Primeiro calcule n+1:
n+1=\frac{7}{3}+1=\frac{7}{3}+\frac{3}{3}=\frac{10}{3}.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
\int x^{7/3}\,dx=\frac{x^{(7/3)+1}}{(7/3)+1}+C=\frac{x^{10/3}}{10/3}+C.
Agora simplificar a fração dividindo por 10/3 (isto é multiplicar por 3/10):
\frac{x^{10/3}}{10/3}=\frac{3}{10}\,x^{10/3}.
Portanto
\int x^{7/3}\,dx=\frac{3}{10}\,x^{10/3}+C.

Passo 5

Verificação rápida (derivando o resultado): calcule
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{10}x^{10/3}\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{10}{3}x^{10/3-1}=x^{7/3},
que coincide com a integranda. Assim a integral está correta.

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre some 1 ao expoente (no caso somar \tfrac{3}{3} se trabalhar em terços), e depois divida por esse novo expoente — se for uma fração, inverta e multiplique (como fizemos: dividir por \tfrac{10}{3} virou multiplicar por \tfrac{3}{10}). Um exemplo simples para fixar: \int x^{4}\,dx=\dfrac{x^{5}}{5}+C.

Resposta

\dfrac{3}{10}x^{10/3}+C

Exercícios relacionados