Calcular as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e relevantes:
- A função integranda é
. - Trata-se de uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração
. - O expoente é
, que não é igual a (isso será importante para aplicar a regra que vamos usar).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (regra da potência para integrais). Para qualquer real
tal que
vale:
Explicando cada símbolo:
-
é a variável de integração. -
é o expoente da potência. -
é a constante de integração, porque integrais indefinidas são definidas apenas até uma constante.
Por que essa fórmula é válida? Podemos verificar derivando o lado direito: se
então, aplicando a regra da derivada de potência,
que é a integranda. O caso
é excluído porque aí
e haveria divisão por zero.
Passo 3
Aplicar a fórmula com
. Primeiro calcule
:
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Agora simplificar a fração dividindo por
(isto é multiplicar por
):
Portanto
Passo 5
Verificação rápida (derivando o resultado): calcule
que coincide com a integranda. Assim a integral está correta.
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre some
ao expoente (no caso somar
se trabalhar em terços), e depois divida por esse novo expoente — se for uma fração, inverta e multiplique (como fizemos: dividir por
virou multiplicar por
). Um exemplo simples para fixar:
.