Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int 10 x^{-2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida da função 10 x^{-2}, ou seja encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=10 x^{-2}.
Informações dadas:
  • A integranda é 10 x^{-2}.
  • Trata-se de uma integral indefinida (deve aparecer uma constante de integração C).
  • É preciso observar que x\neq0 (a função não está definida em x=0).

Passo 2

Regra básica que vamos usar (regra da potência para antiderivadas):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\qquad \text{para } n\neq -1.
Explicando essa fórmula: se definir G(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, então
G'(x)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}=x^{n},
logo G é uma primitiva de x^{n}. Por isso a fórmula vale. Aqui n é o expoente da potência; C é a constante de integração.

Passo 3

Identificar o expoente na nossa integranda: temos x^{-2}, ou seja n=-2. Como n=-2\neq -1, podemos aplicar diretamente a regra da potência.
Aplicando a fórmula a \int x^{-2}\,dx:
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-x^{-1}+C.

Passo 4

Tratar o fator constante 10. A propriedade linear da integral permite fatorar constantes:
\int 10\,x^{-2}\,dx = 10\int x^{-2}\,dx.
Substituindo a primitiva encontrada:
10\int x^{-2}\,dx = 10\bigl(-x^{-1}+C\bigr) = -10x^{-1}+C',
onde C' é outra constante arbitrária (pode usar a mesma C se preferir). Escrevendo de forma comum:
-10x^{-1}+C = -\frac{10}{x}+C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (para ter certeza): calcule a derivada de F(x)=-10x^{-1}+C:
F'(x) = -10\cdot(-1)x^{-2}=10x^{-2},
que é justamente a integranda. Logo a primitiva está correta.

Passo 6

Dica para prova: sempre cheque se o expoente é -1. Se fosse \int x^{-1}\,dx a primitiva seria \ln|x|+C. Para qualquer outro expoente use a regra da potência mostrada acima. Não esqueça de verificar o domínio (aqui x\neq0) e de colocar +C.

Resposta

-\dfrac{10}{x}+C

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