Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
integral duplaD x^21+y^2 d A, D=[0,1] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla integral duplaD x^21+y^2 , dA, onde o retângulo D é definido por [0,1] times [0,1]. Isso significa que x e y variam de 0 a 1. Vamos precisar usar o cálculo de integrais duplas e entender como separar a função em partes que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser separada em duas integrais simples, uma em relação a x e outra em relação a y. Ou seja:
integral duplaD x^21+y^2 , dA = integral0^1 integral0^1 x^21+y^2 , dx , dy
Aqui, estamos integrando com relação a x primeiro, mantendo y constante, e depois integrando o resultado com relação a y.

Passo 3

Vamos começar integrando com relação a x. A expressão x^21+y^2 pode ser vista como x^2 multiplicado por 11+y^2, que é uma constante em relação a x. Assim, a integral interna fica:
integral0^1 x^21+y^2 , dx = 11+y^2 integral0^1 x^2 , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de x^2 de 0 a 1:
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13
Portanto, a integral interna fica:
11+y^2 cdot 13 = 13(1+y^2)

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a y:
integral0^1 13(1+y^2) , dy = 13 integral0^1 11+y^2 , dy

Passo 6

A integral de 11+y^2 em relação a y é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente:
integral 11+y^2 , dy = arctan(y) + C
Então, aplicando os limites de integração:
integral0^1 11+y^2 , dy = arctan(1) - arctan(0) = pi4 - 0 = pi4

Passo 7

Agora, multiplicamos esse resultado pela constante 13:
13 cdot pi4 = pi12

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é pi12.

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