Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais usando frações parciais, uma técnica que nos ajuda a simplificar frações complexas para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como a soma de duas frações:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo
na terceira equação:
E da segunda equação:
Substituindo
na equação anterior:
Então,
e
Passo 5
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos escrever a fração original como:
Simplificando as frações:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, separamos os termos:
Sabemos que:
e
Passo 7
Substituindo as integrais calculadas:
Simplificando os coeficientes: